Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
334
приложить к обмотке повышенное испытательное напряжение. Точных норм на этот счет нет, и одни машины испытываются, скажем, напряжением 1,3 номинального, а другие — напряжением 1,7 номинального. При повышении испытательного напряжения число пробиваемых стержней резко растет; хотелось бы думать, что машины, испытанные более высоким напряжением, будут надежнее в эксплуатации. Тогда и в модель (1) надо ввести (не очень понятно, как это сделать) ус* ловня профилактических испытаний.
Но в действительности оказалось (насколько можно было заметить), что по статистическим данным нет разницы между аварийностью (в работе) машин, испытанных разным испытательным напряжением (при ремонте). Однако, по нашим данным, если профилактическая роль испытаний незаметна, то весьма заметна их диагностическая роль: те машины, которые больше повреждаются в работе (чем это полагается для статистически однородной совокупности), больше повреждаются и при испытаниях. А поскольку пробоев при испытаниях гораздо больше, чем аварий в работе, получаем ценный источник информации о состоянии изоляции (к сожалению, исследование этой проблемы не доведено до конца).
Короче говоря, модель (1) может быть лишь более нли менее грубым приближением к действительности, хотя те или иные делаемые против нее возражения могут и не быть особенно весомыми при фактической проверке.
3.2. Применение метода наименьших квадратов. По статистической науке полагается дать какой-нибудь параметрический вид функции h(t),например*,A(/)=a+W2 с неизвестными параметрами а и Ь\ записать функцию правдоподобия, т. е. плотность вероятности для результатов наблюдений (результатами наблюдений являются моменты аварий на каждой из рассматриваемых машин либо указание, что на данной машине аварий не было), и найти оценки а н Ъ из условия максимума функции правдоподобия. Можно прикинуть и распределение оценок а, Ь, в частности возможную величину разностей а—а, b—Ь. Но в 1963 г. возможностей выполнить такие вычисления не было; позже же стало понятно, что ошибки при определении а и Ь будут определяться не свойствами оценок максимального правдоподобия, а степенью нарушения статистической однородности изоляции (для тех машин, которые включены в расчет), т. е. вещью совершенно неизвестной (можно вспомнить про доверительные интервалы, не заслуживающие доверия, описанные в гл.2).
* После некоторых пробных обработок материала стало ясно, vro он не допускает определения более двух параметров в выражении длп функции, поэтому брался многочлен второго порядка без линейного члена.
335
Поэтому мы остановились на грубо приблизительном методе наименьших квадратов. Дискретизуем значения времени t (удобный шаг /i+i—й=104ч рабочего времени, что соответствует примерно полутора календарным годам эксплуатации). Будет неплохо, если мы будем знать величины
которые практически (из-за малости величин pi) совпадают с вероятностями аварии единицы площади изоляции при эксплуатации ее в интервале рабочего времени [*«-i, ti[ (причем
*о=0).
Теперь организуем обработку фактических данных следующим образом: пусть в интервале Л] прошли эксплуатацию машины с общей площадью изоляции St, причем произошло аварий. Тогда оценкой величины р, является in/Si — частота аварий. Если будем считать, что pi гладко зависят от t, то мы сумеем увеличить точность определения отдельных значений pi за счет сглаживания частот ju/Si методом наименьших квадратов.
Изложим результат по работе [51] 1965 г. В этой работе применена маленькая премудрость, вызванная страхом перед неизвестностью весов (или дисперсий отдельных наблюдений) в методе наименьших квадратов; действительно, D (|i,/Si= (D\ii)hS2**Pt/Si зависит от неизвестного pi. Следовало попросту как-нибудь сгладить pi (хоть от руки), использовать сглаженные значения для определения весов и провести метод наименьших квадратов с этими весами. Вместо этого применяется более сложный прием — преобразование, выравнивающее дисперсии:
сглаживаются величины 2У|х* | S/, имеющие примерно равные дисперсии, и производится обратное преобразование.
В конце концов возникает гладкая зависимость pt от t. При замене переменной x=xi—il22 (22 интервала по 10* ч каждый дают максимальный срок эксплуатации 220000 ч) окончательно получается следующий ответ:
а) для турбогенераторов напряжением 10,5 кВ
Pi - P(Xi) = 0,010 + 0,024*2 + 0,014*«;
б) для турбогенераторов напряжением 6,3 кВ
Pi = Р(х,) = 0,007 + 0,034*3 4- 0,037*»;
-*¦ 2 arcsin ]/ « 2 ]/ v-i/S,,
336
в) для смешанной группы всех напряжений (6,3; 10,5; 13,8; 15,75; 18 кВ.)
р4=р(д;,) = 0,010 + 0,019x; 0,010.x*.
При этом в каждом случае .а), б), в) методом наименьших квадратов определялись два параметра (т. е. величины
2Yt*,/Sj сглаживались многочленом а+bx2 в случаях а) и
в) и многочленом л+Ьх3 в случае б): в случае б) этот многочлен подошел лучше, чем а+bx2). Четвертая и шестая степени для х получились после обратного преобразования. Кривые для случаев а), б), в) достаточно близки, и в качестве наиболее точной рекомендуется кривая в). Ей соответствуют генераторы с суммарной площадью изоляции Si=962x100 m2, 5г2=30,9X 100 м2, на которых произошло в общей сложности 90 аварий. В общем, р(х) — это монотонно возрастающая кривая, изменяющаяся от примерно 0,010 при х, близких к 0, до примерно 0,040 прн х=1. Оценены по порядку величины и течность определения р{х): на начальном участке (при х, близких к нулю) это примерно ±0,001, а на конечном участке (при х, близких к 1) это примерно ±0,02.
