Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 8 приведен коррелограмм для всего ряда, т. е. для 480 наблюдений. Он больше похож на теоретический, хо-гя также не затухает при больших t. Кендалл указывает, что при работе с временными рядами нужно ориентироваться не па число наблюдений, а на число периодов 2я/0, которые помещаются на отрезке наблюдения. Для авторегрессии
Рис. 8: а) 50 значений коррелограмма ряда Кендалла, рассчитанные по всему ряду из 480 значений; б) теоретический коррелограмм ряда Кендалла (источник: [50])
-7
-7
349
Т‘2ж/Х
Рис. 9. Периодограмма ряда Кендалла (источник: (50])
второго порядка 0=arccos (—aj2tb), и в данном случае 2л/0=9,25.
Кендалл строит также периодограмму по 480 значениям ряда. Она приведена на рис. 9. Пики этой периодограммы, отвечающие периодам 20, 26 и 42, не имеют никакого отношения к реальному периоду 9,25. Вывод Кендалла состоит в том, что если мы имеем дело с авторегрессией, то применение периодограммы «...приводит к выводам почти настолько ложным, насколько это вообще возможно». И тут неплохо достается известному английскому экономисту У. Бнверид-жу, который анализировал с помощью периодограммы длинные экономические ряды, в частности ряд значений иен на пшеницу. Например, сам У. Биверидж насчитал в этом ряду 19 локальных максимумов, а М. Г. Кендалл — ровно вдвое больше. Это означает, что У. Биверидж не озаботился даже о том, чтобы четко определить понятие локального максимума, которым он лично пользовался, что весьма зазорно для статистика.
1.5. Резюме. Модели случайных процессов применительно к динамике экономических показателей уже потому не могут дать особенно содержательных результатов, что обычно имеющееся количество наблюдений абсолютно недостаточно (нужны ведь и какие-то гарантии того, что вероятностный механизм одинаков в начале, конце и середине ряда). Любопытно напомнить, что Н. Винер в «Кибернетике» ([8, с. 201—202]) весьма критически отозвался о потенциальных возможностях изучения экономических явлений. Его аргументация сводится к тому, что эти явления интересуют нас в слишком мелких подробностях, в то время как научная
350
Рве. 10. Спектральная плотность ряда Кендалла н различные способы ее оценки путем сглаживания периодограммы (источник данных: [42])
теория если и возможна, то лишь в более обобщенном масштабе. Например, статистическая механика мало чего стоит с точки зрения отдельной молекулы.
Посмотрим, в частности, на рис. 10, на котором даны спектральная плотность ряда Кендалла (нормированная множителем 2л/В(0)) и различные ее оценки по книге Хен-нана [42]. Ни одна из оценок не позволяет понять, где находится максимум истинной спектральной плотности (та существенная частота колебаний процесса авторегрессии, которую предполагал искать Э. Юл).
351
Реальная область применения теории случайных процессов — это широко понимаемая физика, где, по крайней мере, число наблюдений можно сделать сколь угодно большим. Посмотрим, например, что пишут об оценке спектральной плотности А. С. Монин и А. М. Яглом ([28, с. 14—15]).Спектральная плотность обозначается ?(со).
«Пусть, например, процесс u(t) реализуется в виде флюктуирующего электрического напряжения (если u(t) — пульсации скорости или температуры в точке турбулентного потока, то их преобразование в пульсации напряжения обычно автоматически осуществляется измерительными приборами). Подадим напряжение u(t) на вход фильтра, пропускающего лишь колебания с частотой, меньшей некоторого соо. и измерим мощность тока на выходе фильтра с помощью ваттметра. Стрелка этого прибора покажет значение интеграла
осуществляться самим ваттметром, обладающим определенной инерцией). Меняя значение «о и продифференцировав полученную эмпирическую кривую, мы найдем и саму функцию Е (со) ...».
Для примера в книге [28] приводится график спектральной плотности, полученный еще в 1938 г. Симмонсом и Солтером «... с помощью специальной системы электрических фильтров». Часть данных с этого графика воспроизводится «а рис. 11 (точки, кружки и крестики соответствуют разным скоростям потока в аэродинамической трубе). Опыт, вероятно, имел целью показать наличие универсальной (т. е. не зависящей от U) зависимости в координатах UE((n)/B(0) и со/2л U.
Рассматривая рис. 11, мы прежде всего констатируем, что качество оценки спектральной плотности несравненно лучше, чем для ряда Кендалла из 480 наблюдений. Очевидно, что с помощью системы электрических фильтров спектральную плотность измерить можно. Но, с точки зрения статистика, не мешало бы выяснить, чем объясняется разброс точек относительно проведенной на рисунке гладкой линии. В теории случайных процессов нет другого источника ошибок оценки спектральной плотности, как только недостаточное время усреднения мощности профильтрованного сигнала. Действительно ли этим объясняется разброс, по приводимым в [28] данным выяснить невозможно.
Вообще, прекрасные графики измерений спектральных плотностей, в большом числе приведенные в 128], по-видимому, не анализировались с точки зрения небольших отклонений измерений от теории. Гипотеза автора настоящей книги состоит в том, что эти отклонения (сами по себе небольшие)
