Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Кое-что в этой главе рассмотрено на конкретном уровне, а кое-что — на обзорном. В частности, на обзорном уровне рассматриваются замечательная статистическая теория локального строения турбулентности Колмогорова — Обухова и ее приложения к вопросам распространения света в атмосфере. Здесь достигнуто определенное количественное соответствие между вероятностными моделями и действительностью,
341
но созданная наука сложна и представляет не очень широкий интерес. Поэтому ее вряд лн стоит подробно излагать в элементарном учебнике.
Вопросы прогноза случайных процессов приобрели с легкой руки Н. Винера большую популярность. В данном случае
Н. Винер оказался не прав (а прав А. Н. Колмогоров, который в свонх работах по прогнозу случайных процессов нн словом не обмолвился о том, что такой прогноз представляет практическую ценность). По-видимому, ни в каком случае (даже и для атмосферной турбулентности) прогноз случайных процессов особой практической ценности не представляет. В данной главе вопросы прогноза рассматриваются частично обзорно, а частично конкретно, на примере (неудачного) прогноза колебаний уровня Каспийского моря.
Завершается глава примером из технической физики, в котором давно известная проблема неустойчивости периодограммы как оценки спектральной плотности предстает в новом обличье: как невозможность (без использования теории случайных процессов) выполнить некоторые измерения, необходимые для проектирования длинной волноводной линни.
§ 1. Ранние применения теории случайных процессов
1.1. Введение. Полученную в эксперименте запись зависимости одной величины от другой (вторую переменную мы будем называть «временем») можно представлять себе в двух вариантах: либо это запись самопишущего прибора, которая в каждой точке довольно неточна, а преобразуется какими-то аналоговыми средствами, например, фотографическими; либо это «ряд наблюдений», в котором записываются пары значений времени и зависящей от времени переменной. В дальнейшем такие записи преобразуются средствами обработки дискретной информации. Предполагается, что в этом случае значения обеих переменных записаны достаточно точно.
В настоящее время основным видом записи информации является дискретный; даже результаты измерения аналоговыми приборами преобразуются обычно к дискретному виду (при выборе достаточно мелкого шага времени). Таким образом, объектом исследования является (конечная, но, возможно, достаточно длинная) последовательность
^1» ^2» •••» Xtt •*•* (1)
где t — целочисленный параметр.
Сложилаоь не совеем удачная терминология. Обычно последовательность (1) называется «временным рядом», но этим же термином называется и случайный процесс с диск-
342
-речным временем. Однако необязательно связывать любые наблюдения с какими-то моделями теории вероятностей. Поэтому самую общую последовательность внда (1) мы предпочитаем называть €рядом наблюдений».
Человек анализирует ряды наблюдений совсем не так, -как устройства для переработки дискретной информации. Приведем для начала очень яркую цитату из работы 'Е. Е. Слуцкого — одного из основателей теории случайных -процессов (см. [35, с. 99]).
«Почти все явления хозяйственной жизни, подобно многим другим процессам: социальным, метеорологическим и т. д., — протекают во времени чередой подъемов и падений подобно волкам, бегущим одна за другой. И как на море последовательные волны не повторяют в точности друг друга, так н здесь соседние циклы никогда не совпадают один с другим ни по продолжительности, ни по высоте подъема. И однако же как там, так и здесь почти всегда сквозь все это многообразие индивидуальных особенностей более или менее явственно проступают черты известного единообразия и некоторой приблизительной правильности. Глаз наблюдателя совершенно инстинктивно открывает на волнах одного порядка другие, меньшие волны, так что идея гармонического анализа... кажется напрашивающейся сама собою».
Какие же существуют математические модели рядов наблюдений, позволяющие доказательным образом выявить волны, которые глаз наблюдателя открывает инстинктивно?
Простейшая модель состоит в том, что в действительности явление описывается периодической функцией времени ц>(0> но мы наблюдаем эту функцию с ошибками. Тогда моделью ряда наблюдений (1) будет следующая:
тде 6t — ошибка наблюдения в момент t (проще всего, если {6,} — независимые при различных t и одинаково распределенные случайные величины).
Некоторая проблема может быть связана с тем, что истинный период Т функции <p(t) и произвольно выбранная нами единица времени (шаг дискретизации по t) могут находиться в сложном отношении друг с другом (например, быть несоизмеримыми). Но если П>1, то существует мощный метод выделения периодической составляющей <p(t) из наблюдений (2): нужно рассмотреть периодограмму
¦*<=ф(0+6<,
(2)
П
1
(3)
343
как функцию от Л. При частотах А., таких, что им отвечают гармоники eiXt, имеющие период Т (для этого нужно, чтобы XT=2kя, 6=1, 2,...), эти гармоники будут входить в резонанс с функцией q>(i), но не со случайными ошибками Поэтому при \Т=2kn периодограмма /(Я,) будет (как функция от X) иметь локальные максимумы. Так периодические составляющие (при достаточно большом числе наблюдений п) могут быть выделены из столь зашумленных (ошибками б/) наблюдений, что глаз наблюдателя без обработки никаких периодов не видит. (Вместо функций е1М могут быть взяты и другие периодические функции.)
