Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
модель вида (1). Однако Юл ошибался. Анализируя
уравнение
jT+aty-KO
яри наиболее естественных предположениях (А мало по сравнению с периодом 2п/а, процесс f(t) за время А обновляется в смысле исчезновения статистической зависимости), .приходим в конце концов к модели
А*хк+№хк-Ш(*к+1-Ьк), (3)
где {6а} — независимые случайные величины. (Малоинтересные выкладки здесь опущены.) Модель (3) есть некоторая комбинация скользящего среднего и авторегрессии, а не просто модель авторегрессии.
346
Да и вообще, колебания маятника без трения под воздействием случайных сил приводят к нестационарному слу-ча?*1ному процессу: амплитуда колебаний возрастает. Между тем. говоря о солнечных пятнах, мы подразумеваем стационарный процесс. Впрочем, и сами конкретные результаты применения модели авторегрессии к солнечным пятнам в работе Э. Юла [57] нельзя признать особенно удачными.
Чтобы модель (1) приводила к стационарному процессу, необходимо и достаточно, чтобы уравнение
?< = ai|/-iT... + OLrn%t-m,
получающееся из (1) при б/*“0, имело лишь затухающие решения, т. е. чтобы корни многочлена
zm=alzm~ljr... +am
•был;) все по модулю меньше 1. Обычно рассматривается именно этот случай, а под процессом авторегрессии понимается стационарное решение уравнения (1). Посмотрим, как можно определить параметры модели для случая т=2 (авторегрессия второго порядка):
|<=ai!/-i+a2b(-2+6<" (4)
Умножая (4) на |<_i и ?f_2, беря математическое ожидание, получаем с учетом независимости б< от и ?<_2 следующие два уравнения:
fi(l)=a15(0)+a25(l),
(5)
B(2)=aiB(l)+a2B(0).
где Bfuj =Mg(|(+u — корреляционная функция случайного процесса %t- Таким образом, узнав (приближенно) по реализации случайного процесса gt величины 6(0), В(1), В(2), можем найти из системы линейных уравнений (5) аь а2.
Умножая (4) на ?, при s<t—2 и полагая t—s=u, получаем (после взятия математического ожидания)
В(и)=ахВ(и— 1)+аг5(ы—2). (6)
Решение разностного уравнения (6) выражается известным образом через корни уравнения
г2—a.\Z—а2=0.
Если корни этого квадратного уравнения комплексно сопряжены (и по модулю меньше 1), то корреляционная функция В (и) при изменении и от 0 до оо совершает колебания уменьшающейся амплитуды. Полагая а=—аь Ь=—аг, получаем, что для этого должны выполняться соотношения:
347
a?<4b, 0<&<1. Нетрудно получить для коррелограмма Гк==т выРажение
__B(k) __ Р* sin (к 8-Hj.)
к В( 0) sin + ’
в котором
р «= Vb, 0 = arccos - , tg \J) — tg 6.
2уb l—o
Кроме того,
DS, - (1 + b)(l - &)-*{( 1 + *>•— a*}-» D6,
(см. книгу Кендалла и Стьюарта [20]), так. что D6< можно узнать по и параметрам а и Ь.
Таким образом, параметры модели авторегрессии в прян* ципе достаточно легко определяются по наблюдениям. Модель авторегрессии была применена ко многим рядам эконо-мических показателей. Чаще эти применения оказались не вполне удачными (в том смысле, что модель авторегрессии' тем или иным статистическим критерием отвергалась); однако в книге Кендалла и Стьюарта [20] приводится и вполне удачный пример для поголовья овец в Англии за 1867—
1939 гг.
Остановимся на критическом рассмотрении этой модели и некоторых других вопросов, данных в книге Кендалла [50].
1.4. Критика Кендалла. Книга [50] открывается интересным эпиграфом, который можно перевести примерно так: «... основы наших убеждений должны сравниваться не столько с солидным фундаментом обычного здания, сколько с кучами роттердамских домишек, которые неведомо как покоятся на глубоком ложе из мягкой грязи». Для начала М. Г. Кендалл задается вопросом: на чем основано наше убеждение, что мы можем судить по коррелограмму, имеем лн мы дело с авторегрессией? С этой целью моделируется ряд наблюдений согласно уравнению
&+2= 1>1&-н —0*5 \t + &I+2»
to=0, |i = 15,5; 6t — моделированные с помощью таблиц случайных чисел случайные величины, принимающие целые значения от (—49) до (+49) с равной вероятностью. Всего моделировано 480 членов ряда.
Поскольку в экономических рядах обычно не бывает больше нескольких десятков наблюдений, 480 членов разделены на 8 групп по 60 членов. Для этих групп были под-
348
а
S
i -
о
-i -
в
-7
Рис. 7. Графики первых 50 значений коррелограмма, рассчитанные по 4 отрезкам а), б), в), г) ряда Кендалла длиной каждый 60 членов (источник: [50])
считаны коррелограммы при /=1,...,50. Четыре из них при* водятся на рис. 7. Эти коррелограммы абсолютно не похожи друг на друга, хотя вычислены для различных реализаций одного и того же процесса. Они не обнаруживают никакого стремления затухать при больших t.
