Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Для первого срока посева эмпирическая функция распределения расположена левее и выше теоретической и неплохо сглаживяется на глаз прямой линией, параллельной Ф(х). Речь, таким образом, идет о сдвиге функции распределения; если же речь идет о сдвиге, то нужно пользоваться статистическими критериями, основанными на выборочном среднем. Оно равно (—0,64); близкое значение получается и по чертежу. Дисперсия выборочного среднего есть 1 /VI1 =0,30. т. е. отклонение (превосходящее по модулю «два сигма») является высоко статнстическн значимым. Применяя же таблицу для распределения статистики sup (/^„(j:)—/^(дс)! прн п = 11, нахо-
X
дим весьма умеренную значимость (>20%). Как всегда, разные статистические критерии не вполне согласуются друг с другом.
Насколько сильным должно быть отклонение от закона Менделя, чтобы объяснить полученный результат? В нашем понимании закон Менделя выглядит так: «испытания Бернулли с вероятностью успеха р—1/4». Отклониться от этой гипотезы можно весьма различными способами: сказать, что:
1) иет статистического ансамбля (тогда нечего говорить о теории вероятностей) или 2) нет статистической независимости отдельных испытаний (тогда мы не сумеем сказать, какова
заг
Рис. 4. Неудачная попытка подтверждения законов Менделя (источник данных и объяснения см. в тексте)
должна быть зависимость) н т. д. Все эти способы бессодержательны; мы поэтому остановимся на простейшем способе: скажем, что 3) есть испытания Бернулли, но с вероятностью успеха р=р0+Ар, где р0= 1/4, Ар — некоторая добавка. Достаточно ли, чтобы Ар составляло 1/10 от ро‘ Ар——1/40, чтобы объяснить полученный в опыте результат?
Такое значение Ар крайне мало меняет дисперсию наблюдений (1*: изменится лишь математическое ожидание
примерно на величину n{Apfy п,рп(1—р,). Полагая, что п> >200 (лишь в одном наблюдении первой серии я — 100, а в остальных больше 200), найдем, что сдвиг математического ожидания составит примерно ЗОЛр, т. е. величина Др=—1/40 вполне объясняет смещение (—0,64).
21* 323
В работе Еиина есть н некоторое объяснение результатов эксперимента: при первом посеве в теплице в феврале растения страдали ет недостатка тепла и света; часть семян погибла. Возможно, что растения с рецессивным признаком имели меньшую (всего лишь на 10%) вероятность выживания. (Чтобы это утверждение было убедительным, нужно было бы проверить его в специальном эксперименте.) Таким образом, данные первой серии можно рассматривать как некое неполное подтверждение закона Менделя.
Обратимся теперь к данным по второму сроку посева. Соответствующая эмпирическая функция распределения проходит близко к началу координат, по-видимому, плохо сглаживается прямой линией (это субъективное впечатление автора), но во всяком случае имеет гораздо больший наклон, чем функция Ф(*). Чтобы подтвердить это глазомерно наблюдение статистическим критерием,
14
достаточно вычислить статистику S* в 2 О1*)*» которая
/-1
теоретически имеет распределение хи-квадрат с 14 степенями свободы. Вычисление дает S* = 2,85, что почтя невозможно при указанном теоретическом распределении.
Значение статистики sup|F„(x)—F(*)| равно 0,33, что
X
при п=14 значимо примерно на 5%-м уровне.
Комбинация незначимого смещения с большей близостью к нулю значений (ц, чем полагается по закону Менделя, наводит на мысль о подтасовке результатов. Истину теперь выяснить невозможно, но су^-огвует предположение о том, что в работе Енина приведены не все экспериментальные результаты. По-видимому, это предположение должно относиться лишь ко второй серии опытов.
Резюмируем наше обсуждение. Статистические приемы (в данном случае — критерий Колмогорова) являются тонким средством анализа экспериментального материала (даже при сравнительно небольшом числе наблюдений). В материале открываются такие свойства, которые совершенно не соответствуют намерениям авторов этого материала. (Аналогично, рассматривая, например, материалы аварийной статистики, можно открыть чисто вероятностными средствами, что эти материалы неполны или вообще недостоверны.) С другой стороны, применение вероятностных методов имеет свои условности; как и всякая наука, математическая статистика не дает нам в готовом виде объективной истины, и результаты применения ее методов должны интерпретироваться в согласии со здравым смыслом.
1.3. Атомные массы химических элементов. Мы иллюстрируем с помощью эмпирической функции распределения
324
0,5
Рис. 5. Эмпирическая функция распределения дробных долей атомных масс (источник данных: [5])
старую проблему атомных масс химических элементов. Источником для нас будет уже цитировавшаяся прекрасная популярная книга М. П. Бронштейна [5]. В ней (после изложения истории определения атомных масс) приводится современная таблица, по поводу которой автор замечает, что очень многие атомные массы близки к целым числам. Мы понимаем теперь, что та атомная масса, которую получают в своих опытах химики, зависит от пропорции, в которой в природе смешаны изотопы данного элемента. Казалось бы, для дробных долей атомных масс должно было бы выполняться равномерное распределение на отрезке [0, 1].
