Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
26. Найти все функции /, удовлетворяющие при всех х, у е R неравенству
(/ (х) ~ / О))2 ^ I * ^- У13 • Ответ: / (х) = const.
ГЛАВА 3 Дифференциальные уравнения
§ 1. Основные понятия дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется такое функциональное уравнение, в котором неизвестная функция содержится под знаком производной. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит только от одной переменной, то такое уравнение называется обыкновенным. Если же в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Рассмотрим примеры :
1) У(х) = А:>'(х), к = const, xeR,
2) у" (х) + 3у'(х)-4у(х) = sin2x, xeR,
3) и"хх+и”уу+С{х,у)и = 0, (x,y)eD^R2, и = и(х,у), С(х,у) - заданная в области D известная функция,
4) и"хх-и"уу=0’ (x,y)eR2, и=и(х,у).
Все эти уравнения являются дифференциальными, так как они содержат производные неизвестных функций >>(x) и и(х,у).
Уравнения 1) и 2) - являются обыкновенными, а 3) и 4) - дифференциальными уравнениями в частных производных. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной от искомой функции, входящей в данное уравнение.
Примеры:
1) у' + у = 0 - дифференциальное уравнение первого порядка;
2) у" - 4у' + 5у = sin х - дифференциальное уравнение второго порядка;
3) ху2 -2уу' + х = 0 - дифференциальное уравнение первого порядка;
4) у'3 +(х + 2)еу = 0 - дифференциальное уравнение первого порядка;
5) Ут ~ У” ~ У + У = 0 - дифференциальное уравнение третьего порядка.
Дифференциальные уравнения делятся на линейные и нелинейные.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в данное уравнение. Дифференциальное уравнение, которое не является линейным, называется нелинейным. В примерах 1), 2), 5) дифференциальные уравнения являются линейными, а в примерах 3) и 4) - нелинейными.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
У' = /(х,У)’ У = У(х)- (1)
Функцию f(x,y) будем считать определенной и непрерывной в некоторой области D плоскости переменных (х, у).
Решением уравнения (1) будем называть всякую функцию
у = (р(х), a<x<j3, (2)
непрерывно дифференцируемую на интервале (а, (5) и удовлетворяющую уравнению (1).
Пример 1. Показать, что функция
у(х) = х + Сл11 + х2 (3)
при каждом значении постоянной С является решением уравнения
dy 1 + ху
dx 1 + х2
Решение. Вычислим производную данной функции (3):
Сх
(4)
У
(х) = (х + Сл/ 1 + х2)' = 1 +
Vl + X2
Эту производную и функцию (3) подставим в уравнение (4): Сх _ 1 + х(х + Сл1\ + х2) Сх
Vl + X2 l + x2 л/ 1 + Х2
Как видим, функция (3) на промежутке (- со, + со) обращает данное
уравнение (4) в тождество, следовательно, является его решением.
Пример 2. Показать, что функция у = ^(х), определяемая равенством
у = arctg(x + ^) + C, (5)
является при любой постоянной С решением уравнения
dy 1
— = 7-----гг. у*-х. (6)
dx (jc + j/)
Решение. Дифференцируя обе части равенства (5) и используя теорему о дифференцировании сложной функции, имеем
1 + ^
^ = [arc,g (x+y) + cr = -i^ = —
dx 1 + (х + з/) l + (x + jy)
Отсюда найдем
dy _ 1
dx (х + у)2
Подставляя найденное значение dy/dx в уравнение (6), получим тождество при у Ф-х. Значит, функция у = ^(х), определенная равенством
(5), является решением уравнения (6).
Гоафик решения (2) уравнения (1) называется его интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Если правая часть уравнения (1), т.е. функция fix,у) обладает
определенной гладкостью, то существует единственное решение (2) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию
