Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 92

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 283 >> Следующая

f(a + x)-f(a-x) = 4ax, aeR. (28)
Решение. Тождество (а + х)2 - (а - х)2 =4 ах показывает, что одним из решений уравнения (28) является функция ^(х) = х2. Если теперь / -произвольное решение уравнения (28), то для новой функции g(x) = f(x)-x2, получим равенство g(a + х) - g(a - х) = f(a + х) - (а + х)2 - f(a - х) +
+ (а-х)2 = 4ах-4ах = 0, т.е. g(a + х) = g(a - х). Из этого равенства следует, что функция h(x) = g(x + a) - четная, и, следовательно, всякое решение / уравнения (28) имеет вид
f(x) = x2+h(x-a), (29)
где h - произвольная четная функция. Легко проверить, что и обратно, всякая функция, определенная формулой (29), при четной функции h удовлетворяет уравнению (28), так что формула (29) описывает общий вид решения.
Ответ: /(х) = х2 + h(x - а), где h - произвольная четная функция.
12. Найти все функции, определенные на R, непрерывные в точке /3/(\-а) и удовлетворяющие уравнению
f(ax + ff) = f(x), (30)
где а и P - заданные действительные числа, причем | а | Ф1.
Решение. Пусть существует функция /(х), удовлетворяющая условиям задачи. Пусть |яг|>1. В тождестве (30) произведем замену ax + P-t. Тогда уравнение (30) примет вид
Г1-Рл
т=/
Обозначим через <р, (/) = (t- Р)/а и вычислим следующие композиции:
t-Р~а Р
(31)
<Р2(*) = <Рх(<Р Л*)) =
а
<Р 3 (0 = <Р 2 (<Р 1 (0) =
t-Р-а Р-а1 Р
а
.п-1
<Р п (0 = <Р п-х (<Р 1 (0) 1 -а"
t~p — ctP — ... — (xn Р t — PQ. + ос +... + ссп )
а
а
1 Р \-а ^(\-a)t-p + pan =(l-a)t~P | Р
а"
(1 -а) а"
Тогда при любом п е N
t-an
а
^- + «0 . «0 =
(1 -а)ап 1 -а
Р
1 -а
(32)
Поскольку функция / непрерывна в точке х = а0, то переходя в (32) к пределу при п —> оо, получим
/ (/) = lim /
t-an
а"
¦ + ап
= f(a0) = const.
Функция / (/) = const удовлетворяет уравнениям (30) и (31).
Пусть теперь | а | < 1 и <pt(x) = ах + Р. Тогда
<р 2(х) = <р х{<р ,(х)) = агх + аР + Р,
<р3 (х) = <p2(<pi(x)) = а3х + а2р + а Р + Р,... , <р„(х) = <pn-X{<Pi(x)) = a”x + an~l Р + ап~2 Р +... + а Р + Р =
,1 -ап
= апх + Р(\ + а +... + ап ) = апх + Р
1 -а
= а
х —-
Р Р
1 -а
+ - = ап(х-а0) + а0.
1 -а
Итак, при любом п е N
f(x) = f(an(x-a0) + a0).
Отсюда в силу непрерывности функции / в точке х = а0, получим /(х) = lim f(an(x-a0) + a0) = f(a0) = const.
л-><=о
Ответ: /(х) = const.
13. Найти все непрерывные в точке х = -1 функции /, для которых при всяком х е R выполняется равенство
/(2х + 1) = /(х). (33)
Решение. Заметим, что функциональное уравнение (33) является частным
случаем уравнения (30). В данном случае а = 2, (5 = 1, яг0=/?/(1-а) = -1.
Тогда на основании задачи 12 f(x) = /(-1).
Ответ: /(х) = const.
14. Найти все функции /: R^>R, ограниченные в окрестности точки Р/(1 -а) и удовлетворяющие при всех xeR функциональному уравнению
f(ax + jB) = rf(x), (34)
где а, Р,у - заданные действительные числа, удовлетворяющие условиям | а | > 1 и | у | < 1 или |ог|<1 и | /1 > 1.
Решение. Пусть |ог|>1 и |/|<1. Тогда, рассуждая аналогично решению задачи 12, при любом п е N имеем
f(t) = rnf{9n{t)) = Ynf
+ а0
а о = ¦
1 -а
Здесь переходя к пределу при и->оо и учитывая ограниченность функции / в малой окрестности точки а0, получим f(t) = 0.
Случай | а | < 1 и | у j > 1 изучается аналогично задаче 12.
Ответ: f{t) = 0.
15. Найти все функции /: R^>R, ограниченные в окрестности х = 1 и удовлетворяющие при всех х е R уравнению
2/(Зх-2) = /(х). (*)
Решение. Функциональное уравнение (*) является частным случаем уравнения (34). В случае данного уравнения а = 3, Р = - 2, у = 1/2, а0 = Р/(\-а) = 1. Тогда в силу задачи 14 решением уравнения (*) является только нулевая функция.
Ответ: f (t) = 0.
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed