Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
16. Функция /(х) определена на R и для всех х е R выполняются неравенства
Дх + 3)</(х) + 3 и Дх + 2) > Дх) + 2 .
Решение. Пусть существует функция /, удовлетворяющая условиям задачи. Из первого неравенства следует, что
g(x + 6) = /(х + 6) - х - 6 = f ((х + 3) + 3)-х-6<
< /(х + 3) + 3 — х - 6 < f (х) + 3 + 3- х- 6 = g(x), а из второго неравенства получим
g(x + 6) = /(х + 6) — х — 6 = /((х + 4) + 2)-х-6 > /(х + 4)+2-х-6>
> /(х + 2) + 2 + 2- х- 6> /(х) + 2 + 2 + 2- х- 6 = g(x). Следовательно, при любом действительном х имеет место равенство
g(x + 6) = g(x).
Это означает периодичность функции g на R с периодом 6.
17. Пусть а и b - положительные числа, отличные от 1, афЬ. Найти все функции /: R-> R, такие, что для любых действительных чисел х и у выполняется равенство
f(x + y) = ayf(x) + bxf(y). (35)
Решение. Пусть / при всех х и у из R удовлетворяет уравнению (35). Подставив х = у = 0 в тождество (35), получим /(0) = 0. Из равенства f(x+y) = f(y + x) и тождества (35) следует, что для любых х и у выполняется равенство
<*х А У) + byf(x) = ayf(x) + bxf(y), которое при ху * 0 переписывается в виде
Ау) (36)
ау-Ъу ах-Ъх
Левая часть равенства (36) зависит только от х, а правая часть зависит только от у. Поэтому равенство (36) возможно только тогда, когда левая и
правая части (36) равны одной постоянной С. Значит, что
= const = С о f(x) = C(ax-bx). (37)
ах — Ъх
Нетрудно заметить, что /(0) = С(а° -Ь°) = 0. Проверка показывает, что при любом CeR функция (37) удовлетворяет уравнению (35).
Ответ: f(x) = C(ax-Ъх) , С - произвольная постоянная.
18. При каких значениях параметра а существует хотя бы одна функция /: R-> R, отличная от постоянной, и такая, что
f(a(x + y)) = f(x) + f(y) (38)
для любых действительных чисел х и у .
Решение. При а = 1 функциональному уравнению (38) удовлетворяет функция f(x) = kx, к = const. Если а Ф1, то для любого х можно подобрать
такое у, что а(х + у)-у ( число ах/(1-а)). Для такой пары (х,>0 будет
219
выполнено равенство /(а(х + у)) = /(у) , и из (38) получим f(x) = 0. Отсюда следует, что при а Ф1 уравнению (38) удовлетворяет только функция /(х) = 0.
Итак, функция, удовлетворяющая всем требуемым условиям, существует только при а = 1.
19. Найти все функции /О). определенные для каждого xeR и удовлетворяющие уравнению
xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) (39)
для произвольных х и у . Доказать, что только две из них непрерывные на R .
Решение. Пусть существует функция /: R-> R, которая удовлетворяет уравнению (39). Положим в тождестве (39) у = х, тогда
2х/(х) = 2х/2(х) или 2х/(х)[1-/(х)] = 0.
Отсюда при х Ф 0 либо /(х) = 0, либо /00 = 1. Пусть f{a)~ 0 при х = а Ф 0, тогда из уравнения (39) получим а /(у) = 0 для всех yeR, т.е. f{x)&0. Пусть f{a) = 1 при х = а Ф 0, тогда из данного уравнения получим у = у f{y)-Откуда /Су) = 1 ПРИ УФ 0 и /(0) = const = c при >> = ().
Итак, все решения функционального уравнения (39) следующие: f(x) = 0,
Г1, х Ф 0,
каждая функция вида f(x) = < в чем убеждаемся непосредственной
[с, х = 0,
проверкой. Среди этих решений только функции /(х)- 0 и f{x) = \ являются непрерывными.
20. Найти функцию /(х), если она удовлетворяет уравнению
/00 +Л
3-2хл
= х (40)
/
1-х
при всех xei?\{l, 2}.
Решение. Пусть существует функция /, определенная на i?\{l,2} и удовлетворяющая уравнению (40). Нетрудно заметить, что если
(Р(Х) = ---2Х . то = <р(<р(<р(х))) = х.
1-х х-2
3-2х
С учетом этого заменим в уравнении (40) х на------- и получим уравнение
1-
Заменяя в уравнении (41) х на
^х-2) х-2
В результате в силу (40), (41), (42) получим систему уравнений
220
(41)
/(*)+/
1-х
= х.
/
f
3-2х^ /
1----- +f
1-х J
х-3"
\Х-2,
х-3^1 х-3
+ /(*) = -
Решая ее, найдем
/М=2
х-2
х-2
3-2х х-Зч - +
(43)
1-х х-2,
Сделав проверку, убеждаемся, что функция (43) при х*1, хф 2 является решением функционального уравнения (40).
f 3-2х х-3Л х-------+
^ 1X Л/ j
Ответ: /(х) = |
2 v 1-х х-2,
21. Найти функцию /(х), если она удовлетворяет уравнению
