Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 91

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 283 >> Следующая

Ответ: /(х) = 8х2/7 .
7. Найти все функции / , определенные на R , непрерывные в нуле и при всех х и у из R удовлетворяющие уравнению
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy(x + y). (14)
Решение. Пусть существует определенная на R, непрерывная в нуле функция /, удовлетворяющая уравнению (14). В тождестве (14), полагая у = х , имеем
/(2х) - 2/(х) = 2х3. (15)
Решение уравнения (15) будем искать в виде
<р(х) = ах3+bx2+cx + d , (16)
где а, b, с и d - неизвестные пока действительные числа. Функцию (16), подставляя в (15), имеем
6ах3 + 2Ьх2 -d = 2х3.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при степенях х, получим а = 1/3, Ь = 0,
d = 0, с = к, где к - любое действительное число. Тогда функция (16)
принимает вид
х3
<р(х) = — + кх. (17)
Нетрудно проверить, что функция (17) является решением уравнения (14). Далее покажем, что других решений функционального уравнения (14) нет. Решение уравнения (14) будем искать в виде
/(x) = g(x) + y, (18)
где g(x) - произвольная определенная на R и непрерывная в нуле функция. После подстановки функции (18) в уравнение (14) получаем функциональное уравнение относительно g(x):
g(x + y) = g(x) + g(y). (19)
Уравнение (19) в силу результатов § 4 определяет линейную функцию вида
g(x) = ax. (20)
Подставляя (20) в (18), находим все решения уравнения (14) вида (17).
8. Найти все функции, заданные на R и удовлетворяющие при всех х е R уравнению
2/ (х) + / (1 - х) = х", (21)
где п - натуральное число.
Решение. Пусть существует функция /, заданная на R и
удовлетворяющая уравнению (21). 8 тождестве (21) х заменим на 1-х. Тогда имеем систему
|2/(х) + /(1-х) = х",
{2/(1-х) + /(х) = (1 —х)\
Умножая первое уравнение системы (22) на 2 и вычитая из полученного уравнения второе уравнение системы, получим
/(х) Лх"~(1-х)\ (23)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция (23) действительно удовлетворяет уравнению (21) при всех хей. Следовательно, функция (23) является решением уравнения (21) и других решений у него нет.
9. Найти все дифференцируемые функции f\R->R, для которых при любых x,y^R выполняется равенство
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy- (24)
Решение. Пусть функция / является решением уравнения (24). В
тождестве (24) переменную у зафиксируем. Так как данное равенство
выполняется при любом х из множества действительных чисел, то
f'(x + У) = /'(*) + У ¦ (25)
Это равенство выполняется при любом у из множества действительных чисел. Тогда из (25) имеем
limA^±yW>) = li
у-*° У
но это означает, что /"(х) = 1 при любом х е R. Интегрируя равенство f"(x) = 1 два раза, получим
f(x) = x2/2 + ax+b, (26)
где а и b - произвольные постоянные. Сделав проверку, то есть подставив функцию (26) в функциональное уравнение (24), убеждаемся в верности найденного решения при Ъ = 0.
Ответ: f(x) = x2/2 + ax .
10. Решить функциональное уравнение
Ах + У) =/(Х) + /(У) + ХУ (27)
на множестве функций f:R-+R, непрерывных в точке х = 0.
Решение. Пусть существует функция /, удовлетворяющая условиям задачи. При у = 0 из (27) получаем /(0) = 0. Тогда переходя в (27) к пределу при у->0 и фиксированном xeR, получим
lim f(x + y) = f(x).
у—>0
А это означает, что функция /(х) непрерывна на числовой прямой.
Легко проверить, что найденная при решении задачи 9 функция /0(х) = х2/2 является решением функционального уравнения (27). Пусть
g(x) = /(*)- /о (*)• ТогДа
g(x + У) = f(x + у) - /0 (х + у) =
= /О) + /О) + xy-f0(x)-f0(y)-xy = g(x) + g(y).
Функция g(x) как разность непрерывных на R функций /(х) и /0 (х) непрерывна на всей числовой прямой. Следовательно, на основании § 4 имеет вид g(x) = ах. Тогда
f(x) = f0(x) + g(x)=Y + ax’
где а - произвольное действительное число. Найденная функция является решением данного уравнения (27) при любом а е R. Следовательно, решение уравнения (27) в классе непрерывных в нуле функций совпадает с решением задачи 9.
11. Найти все функции f:R->R, являющиеся решениями функционального уравнения
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed