Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка
y' = f(x,y), У = У(Х), (1)
где известная функция f(x,y) определена в области D плоскости R2.
Определение 1. Функция / (х, у) в области D удовлетворяет по переменной у условию Липшица, если существует число К > О такое, что для любых двух точек (х, ух) и (х, у2) из D выполняется неравенство
\f(x,yl)-f(x,y2)\<K\yl-y2\. (*)
Определение 2. Область D называется выпуклой вдоль оси х-0,
если она вместе с любыми точками (х, _у,) и (х, у2) содержит отрезок,
соединяющий эти точки.
Лемма 1. Если область D выпуклая вдоль оси х. = 0 и функция /(х, у) в области D имеет ограниченную частную производную по у, то функция / (х, у) удовлетворяет условию Липшица по переменной у в этой области.
Доказательство. Пусть (х, ух) и (х, у2) - любые две точки области D и для определенности ух <у2. Рассмотрим сегмент [yv у2\ и применим теорему Лагранжа (см. гл. 1, § 7):
f(x, y2)~f(x, yl) = fy(x, Ух+в(у2-ух)){у2-ух), 0<#<1.
По условию производная f'y(x, у) ограничена в области D, т.е. существует положительное число К, такое, что для всех {х, y)&D выполняется следующее неравенство: | f'y{x, у) | < К. Тогда справедлива оценка
| /(*> У г) ~ f (х> У]) | ^ К | у2 - ух [, которая означает, что функция / (х, у) по переменной у удовлетворяет условию Липшица в области D.
Отметим, что неравенство (*) может выполняться и тогда, когда df/dy существует не всюду. Например, функция f (х, у) = | у | не имеет производной по у при у = 0, а между тем всегда справедливо неравенство
для любых точек (х, ух) и (х, у2) плоскости R2, т.е. условие (*) выполнено с постоянной К = 1.
Лемма 2 (лемма о дифференциальном неравенстве). Пусть х0 е [а,Ь]
и дифференцируемая на [а, Ь] функция у(х) удовлетворяет дифференциальному неравенству \ у'(х) \ < р | у(х) \ + q, где p,q е R и p,q> 0, | у(х0) | < d0. Тогда на отрезке [a,b] справедлива оценка
Доказательство. Пусть хх - любая точка отрезка [а, Ь\, такая, что Для определенности положим, что хх>х0. Если у(х)ф 0 на (jc0,Jtj ], то возьмем х, =х0. Если же функция у(х) обращается в нуль на некотором множестве точек (х0,хх), то за х, возьмем наибольший элемент замкнутого множества F = {х&[х0,хх] | д;(х) = 0}. Замкнутость F следует из непрерывности функции у(х) на [х0,хх]. Итак, в обоих случаях |.у(х,)1 -^о и у(х)ф 0 при xe(xt,xx]. Из последнего следует существование производной модуля | у(х) |'. Дифференцируя обе части равенства | у(х) |2 = у2(х), получим: 21 у(х) 11 у(х) |' = 2у(х) у(х) < 21 у(х) 11 у'(х) |. Отсюда, сокращая на 21 у(х) |, имеем | у(х) |' <| у'(х) | при хе^х^х^. Пусть | у(х) \ = d(x). Тогда при хе(х*,хх] справедливы оценки:
В последнем неравенстве х заменим на t и проинтегрируем по t от х» до х. Тогда при р = 0 получим требуемую оценку (**). Пусть р> 0. Рассмотрим функцию <p(x) = e~px\d(x) + q/р], которая убывает на [а,Ь], так как ее производная (p'(x) = e~px[d'(x)-pd(x)-q]<0. Поэтому (р{хх) < ср(х,), т.е.
|/(^ Ух)~1(х, Уг)\ =
d0+q\x-x0\, р = 0,
(**)
Р
d(x,)<d0, d'(x) = \y(x) \ <pd(x) + q0.
Отсюда
е~рх' [d(xx) + q/p]< ерх*[d(x) + q/р] < е~р1‘[d0+q/p]. d(xx)<d0ep(x'-x'] 1 (ep(x'~Xt)-I).
P
По условию хх&[а,Ь] любое число, большее х0, и х,-х, <х,-х0. Тогда
неравенство (**) справедливо при любом х€.[а,Ь] и х>х0. Случай х<х0
сводится к рассмотренному заменой х на -х, х0 на -х0, так как функции
| у'(х) | и | х- х0 | не меняются при такой замене.
Следствие (лемма об интегральном неравенстве или Гронуолла).
Пусть непрерывная на отрезке [a,b] функция z(x) при всех х,х0 е [a,b] удовлетворяет интегральному неравенству
z(x) | й А + В
л
J | z(t) | dt
где А и В - заданные неотрицательные постоянные. Тогда при всех xs[a,b] справедлива оценка
| z{x) | < АеВ1х~х<>1.
Доказательство. Пусть для определенности х>х0. Правую часть
X
данного неравенства обозначим через у(х) = А + В ^\z(t)\dt. Тогда ясно, что
|z(x) | <у(х). Поскольку функция \z(x)\ непрерывна на [a,b], то функция у{х) дифференцируема на этом отрезке и у'(х) = В | z(x) |. Отсюда имеем у'(х) <Ву(х) и у(х0) = А. Тогда по лемме 2: у(х) < Аев(х~хс), а поскольку | z(x) | < у{х), то функция \z{x)\ также удовлетворяет требуемому неравенству.
Теорема 1 (теорема Э. Пикара). Если правая часть уравнения (1), т.е. функция f (х, у), непрерывна в области D и удовлетворяет в этой области
попеременной у условию Липшица, то для всякой внутренней точки (х0, у0) области D существует число h> 0, такое, что на сегменте [х0 -h, х0 +h] существует единственное решение у = <р(х) уравнения (1), удовлетворяющее условию
