Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 95

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 283 >> Следующая

Решение. Пусть существует функция /, определенная на интервале (О, +оо) и удовлетворяющая уравнению (55) при всех х>0 и у>0. В тождестве (55) положим х = е. Тогда имеем
f(ey) = yf(e).
Здесь, заменяя еу на z найдем окончательный вид функции: f (z) = Clnz, где
C = f(e) - произвольная постоянная. Нетрудно убедиться, что найденная функция удовлетворяет уравнению (55).
Ответ: /(х) = С 1пх, С - произвольная постоянная.
27. Найти все функции /: R—> R, ограниченные в окрестности точки Р/(1 -а) и удовлетворяющие при всех xeR уравнению
f(ax + P) = yf(x) + ax + b, (56)
где а, р, у, а,Ь - заданные действительные числа, удовлетворяющие условиям | а | > 1 и | у | < 1 или |«|<1 и | /1 > 1.
Решение. Поскольку свободный член в уравнении (56) является линейной функцией а х + b , то решение исходного уравнения будем искать в виде
f(x) = cx + d, (57)
где с, d - пока неизвестные постоянные. Подставляя функцию (57) в уравнение (56) и приравнивая коэффициенты при степенях х, получим
а-у (1 -у)(а-у)
Подставив найденные значения с и d в (57), найдем решение уравнения (56):
/.М--+ (58)
а-у (1 -у)(а-у)
Теперь покажем, что других решений уравнение (56) в указанном классе функций не имеет. Решение уравнения (56) будем искать в виде
f(x) = g(x) + f0(x), (59)
где g(x) - произвольная функция, определенная на R и ограниченная в окрестности точки /? / (1 — а). После подстановки функции (59) в
функциональное уравнение (59) получаем уравнение относительно g (х):
g(ax + /3) = yg(x). (60)
Уравнение (60) в силу задачи 14 в отмеченном выше классе функций
определяет только нулевую функцию. Следовательно, g(x) г 0 и f (х) = /0(х) .
Л ч а Ь(а-у)~ Ва
Ответ: f(x) =------х + — --- ' .
а-у (1 -у)(ос-у)
28. Найти все непрерывно дифференцируемые на R функции, удовлетворяющие при всех х е R уравнению
/ (ах + P)-af (x) + b, (61)
где а, р,Ь - заданные числа, причем а Ф 0, ±1.
Решение. Решение уравнения (61) будем искать в виде линейной функции /(x) = cx + d. Подставив последнюю функцию в уравнение (61), найдем
/о(х) = сх- -- С-, (62)
ас-1
где с - произвольная постоянная. Произвольное решение уравнения (61) в указанном классе будем искать в виде
f(x) = g(x) + f0(x). (63)
Подставляя (63) в уравнение (61), получим функциональное уравнение относительно g(x): g(ax + /3) = аg(x). Последнее уравнение на основании задачи 24 имеет только решение вида
( 0 s)
g(x) = c{ х +------ , cx<=R. (64)
V «-U
Тогда функция (63) с учетом (62) и (64) принимает вид
f(x) = kx + -----—, к = с + сх.
а-1 а-1
кр b
Ответ: j (х) = кх н---------------, к - произвольная постоянная.
а-1 а-1
29. Найти все функции /: R-+R, удовлетворяющие при всех х е R уравнению
f(x + P) = f(x) + b, (65)
где Р,Ь - заданные действительные числа, р Ф 0.
Решение. Нетрудно заметить, что функция
ъ
fo(x) =—x + d, (66)
где d - произвольная постоянная, является одним из решений уравнения (65). Произвольное решение уравнения (65) будем искать в виде
/ С*) = &(¦*) + Л О) ¦ После подстановки в уравнение (65), имеем
g(x + P) = g(x). (67)
Решением уравнения (67) являются функции g (х), заданные на R и
периодические с периодом Р. Следовательно, любое решение уравнения (65) имеет вид f(x) = g(x) + f0(x), где /0(х) определяется равенством (66) и g(х) - периодическая функция.
ъ
Ответ: /(х) = — x + J + g(x), d - произвольная постоянная, g(x)
$
произвольная периодическая с периодом (3 функция.
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти все решения функционального уравнения
(х-1\
f(x) + f ---- = 1 + х при условии, что X Ф 0,Х Ф 1.
ух)
1Г 1 1 Л
хн—
Ответ: /(х) =
X JC — 1
2. Найти все функции /, для которых выполняется равенство
/(*) + 2/
1
= х при X Ф 0,Х Ф 1,х Ф -1.
х-1 .1 п1+х
------4----8----
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed