Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
?=7Г-(*’-,,)е?>; (19)
ду ох
при этом функции Р(х,у), Q(x,y), Ру(х,у) и Q'x(x,y) непрерывные D.
Пусть выполнено в области D условие (19). Тогда в теории криволинейных интегралов (см. п. 3 § 20 гл. 1) найден вид этой функции
U(x,y)= J P(x,y)dx + Q(x,y)dy + C2, (20)
(¦Ko-J'o)
где C2 - произвольная постоянная, (x0,j/0) - любая, но фиксированная точка области D. В формуле (20) отметим, что криволинейный интеграл не зависит от
выбора пути интегрирования, а зависит только от точек (х,у) и (х0,у0).
Подставляя U (х,у), определяемую формулой (20), в равенство (18), получим общий интеграл уравнения (16)
j P(x,y)dx + Q(x,y)dy = C = C\-C2. (21)
(•Го.Л)
Для нахождения функции U(x,y) можно поступить иначе. Пусть левая часть уравнения (16) есть полный дифференциал функции U(x,y), т.е. выполнено равенство (17). Отсюда
~ у),^- = Q(x, у). (22)
дх ду
Решая эту систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, найдем искомую функцию U(х, у) .
Пример 6. Решить уравнение первого порядка
(2ху + 3у2 + 4)dx + (x2 + 6ху-3у2 +2)dy = 0 . (23)
Решение. В случае уравнения (23): Р(х,у) = 2ху + 3у2 +4,
дР дО
Q(x,y) = х2 +6х у-Зу2 +2, (x,y)eD = R2; — = 2х + 6 у = — при
ду дх
(x,y)eR2. Следовательно, левая часть уравнения (23) действительно является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). Тогда в силу (22) для искомой U(x,y) имеем:
= 2х у + Зу2 + 4 , = х2 +6х у —Зу2 + 2.
дх ду
Интегрируя первое уравнение по х при фиксированном у , получим
U(x,y) = х2у + 3ху2+4х + (р(у). (24)
Для определения неизвестной функции <р(у) дифференцируем последнее равенство по у и приравниваем ко второму уравнению системы:
?st т
---= х2 +6xy + q>'(y) = x2 +6ху -Зу2 + 2.
ду
Отсюда
<р'(у) = -3у2 +2-
Интегрируя полученное уравнение, найдем
<Р(У) = ~У3 + 2У + С2.
Подставляя значение функции q>(y) в (24), получим
U(х, у) = х2у + 3ху2 - у3 + 4х + 2у + С2.
Тогда решение уравнения (23) определяется по формуле (18):
х2у + Ъху2 - у3 + 4х + 2у = С (С = С, - С2).
Если уравнение (16) не является уравнением в полных дифференциалах, то его можно привести к такому виду с помощью интегрирующего множителя ju(x,y), т.е. после умножения на который уравнение (16) становится уравнением в полных дифференциалах
Чтобы найти функцию ju(x,y), воспользуемся необходимым и достаточным условием (19):
Уравнение (25) или (26) является уравнением в частных производных. Решение этих уравнений - задача, вообще говоря, не более легкая, чем решение исходного уравнения (16). Однако в некоторых случаях достаточно просто удается найти множитель ju(x,y). Из уравнения (26) можно получить следующие утверждения.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение (16) где Р, Q, Р'у, Q'x
непрерывны в односвязной области D и Q^O в D, допускало существование интегрирующего множителя ц, зависящего только от х, необходимо и достаточно, чтобы функция
зависела только от х.
Действительно, из уравнения (26) следует, что /л = ju(x) тогда и только тогда, когда функция (27) зависит от х. Тогда
Теорема 2. Для того чтобы уравнение (16) где Р, Q, Р', Q'x е C(D)
и РфО в D, допускало существование интегрирующего множителя /и, зависящего только от у, необходимо и достаточно, чтобы функция
ju(x,y)P(x,y)dx + ju(x,y)Q(x,y)dy - 0.
(25)
Отсюда
pdlnju ^dlnju dQ дР
ду дх дх ду
(26)
_1JdQ_dP'
Q{dx ду,
(27)
Отсюда
р
л
dQ_dP_ дх ду
зависела только от у. При этом функция /л (у) определяется по формуле
-f -№-K)dy ju(y) = Ceip
Теорема 3. Если уравнение (16) имеет интегрирующий множитель вида
И (х> У) ~ И (х> У)). где со (х, у) - известная достаточно гладкая функция,
то
ibiL= &-РУ . (28)
dtо Р(о'у -Qо)'х
Теорема 4. Пусть ju0(x,y) - интегрирующий множитель уравнения (16)
и и0 (х, у) = С0 соответствующий общий интеграл этого уравнения. Тогда все интегрирующие множители уравнения (16) определяются формулой
ju(x,y) = ju0(x,y)<p(u0(x,y)), (29)
