Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
X +1 X 1-х
Ответ: /(х) =------х-2
15v * + л х i-х j
3. Найти все непрерывные функции /: R—>R, такие, что г2 4
/(*)-/
—х v3 у
=—х, х е R. 5
Ответ: /(х) =—х.
4. Найти все непрерывные функции /: R—>R, если при всех хе R
2/(2х) = /(х) + х.
Ответ: /(х) = ^х.
5. Найти все непрерывные функции /: R—>R, если при всех хеR
^х-1Л
/О) = /
V
Ответ: /(х) = const.
6. Найти все дифференцируемые функции /, которые удовлетворяют функциональному уравнению
Гх-Л
f(x) = f ----- при любых действительных значениях х.
V 2
Ответ. /(х) = const.
7. Найти все дифференцируемые функции /, которые удовлетворяют функциональному уравнению
/ (5х + 3) = 5/ (х) при любых действительных значениях х.
3
Ответ: /(х) = сх +—с , где с = const.
8. Найти все функции /, непрерывные на множестве R и удовлетворяющие при любых действительных значениях переменных х и у функциональному уравнению
/(х + у) = /(х) + f(y) + 2xy . Ответ: /(х) = х2 +bx, beR .
9. Найти все непрерывные функции /, определенные на множестве R,
удовлетворяющие уравнению
/ (х2) + / (х) = х2 + х, xeR. Ответ: / (х) = х.
10. Найти все функции /, непрерывные на множестве R и удовлетворяющие при любых действительных значениях переменных х и у функциональному уравнению
f(x + y) = f(x) + f(y) + 3x2y + 3xy2. Ответ: f(x) = x3+kx,keR.
11. Найти все функции /, непрерывные на множестве R и удовлетворяющие при любых действительных значениях переменных х и у функциональному уравнению
/(х-у) = /(х)-f(y)-3x2y + 3xy2. Ответ: f(x) = x3+kx,keR.
12. Найти все функции /, определенные на множестве R, ограниченные в окрестности нуля и удовлетворяющие при любых действительных значениях переменной х функциональному уравнению
1 (хЛ 24
/(х)—/ — =х3. Ответ: /(х) =—х3
3'
.3 Л_____ 7У..Ч _ ^ „3
23'
13. Найти все функции /, определенные на множестве R, ограниченные в окрестности нуля и удовлетворяющие при любых действительных значениях переменной х функциональному уравнению
(х\
/(х)—/ — =х2. Ответ: /(х) = — х2
4'
х
Jy
36
.2 ^____ ге.-ч „2
35'
14. Найти все функции /, заданные на R и удовлетворяющие при всех x,yeR уравнению
f(x)'f(y) = f(x-y) + axy + 2л[ау, а > 0 . Ответ: /(х) = 1 + л[а х .
15. Найти все функции /, заданные на R и удовлетворяющие при всех x,yeR уравнению
f(x-y) = f(x) + f(y)-2axy-20y, где а и (5 - заданные действительные числа. Ответ: /(х) = ах2 л-fix.
16. Найти все функции /(х) и g(x), определенные на и удовлетворяющие уравнению
f(x)~f(y) + g(x) + g(y) = smx+c°s_y при всех х и у из R.
. sinx-cosx , . sinx + cosx Ответ: / (х) =----- ----+ с, g(x) =------ ----, с = const.
17. Найти все функции /: R—t R, непрерывные на R и удовлетворяющие уравнению
/2 хл_у_ = при ВСех х, у eR.
V ^
Ответ: f(x)=cax, а>0, с - произвольная постоянная.
18. Найти все функции /: R-± R, удовлетворяющие при всех х, у из R уравнению
ekxf{y) = f{x + y)-f(x), кФ 0.
Ответ: / (х) = с(екх -1), с - произвольная постоянная.
19. Найти все функции /: R-^R, удовлетворяющие при всех х, у е R уравнению
f(x-y) = ^X) + f^-, х + уф0. Ответ:/(х)=0.
х + у
20. Найти все функции /: (0, + оо) —>• R, непрерывные в точке х = 1 и удовлетворяющие при х, у > 0 уравнению
f (х-у) = х f (у) +у f (х) . Ответ: f{x)-cxlnx, ceR.
21. Найти все дифференцируемые обратимые функции f.R-^R, удовлетворяющие при всех х е R функциональному уравнению
/(х) + /~'(х) = 2х. Ответ: /(х) = х + с, ceR.
22. Найти все непрерывные на R функции /, удовлетворяющие при всех xeR уравнению
/(/(/(*))) = *• 0твет: /О)s*•
23. Найти все дифференцируемые на R функции, удовлетворяющие при всех х и у из R уравнению
у-, х + у_ _ f{x)—f(y)^ хфу Ответ: f {х)~ ах1 +bx + c, a,b,ceR.
V 2 ) х-у
24. Найти все функции /: R R , удовлетворяющие условию /(1) = 2 и уравнению
f(xy) = f(x)f(y)-f(x + y) +1, х, у е R . Ответ:/(х) = х + 1.
25. Существует ли функция /, заданная на R и удовлетворяющая при
всех xeR неравенству: /(х2)-/2(х)> 1/4, и не принимающая никакое значение более чем в одной точке? Ответ: Не существует.
