Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 98

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 283 >> Следующая

230
Я^)|1.^=3'(^о) = 3'о- (7)
Оказывается, что уже в самом уравнении (1) содержится важная информация о поведении его интегральных кривых. Как известно, вектор
р = (\,ф'(х0У), приложенный в точке (*0,.У0), определяет направление
касательной к кривой у = ф(х) в точке (х0,^0). Если интегральная кривая
у = ф(х) уравнения (1) проходит через точку (х0,^0), то
(р'(х0) = /(х0,ф(х0)) = f (х0,у0), тогда р определяется равенством
р = (1, ф'(х0)) = (1, /(х0,_у0)) ¦ Итак. уравнение (1) задает в области D
векторное поле:
P = (lf(x>y))> (x,y)eD. (8)
Таким образом, интегральная кривая уравнения (1) - это такая кривая у = ф(х), у которой касательный вектор р = (1,ф'(х)) в каждой ее точке (х, (р (х)) равен значению векторного поля (8) в этой точке. Отсюда следует, что задача решения уравнения (1) может быть истолкована следующим образом. Найти такую кривую у = ф{х), чтобы касательная к ней в каждой точке (х,(р{х)) имела направление векторного поля (8) в этой точке. В такой
постановке задача решения дифференциального уравнения, вообще говоря, имеет бесконечное множество решений. Оказывается однозначно разрешимой задачей является задача о нахождении интегральной кривой, проходящей через данную точку (х0, у0) е D.
Постановка задачи Коши. Дана точка (х0,у0) е D. Требуется найти
решение (2) уравнения (1), удовлетворяющее условию (7). При этом условие (7) называется начальным условием или условием Коши.
Геометрический смысл задачи Коши (1) и (7) состоит в том, что ищется интегральная кривая уравнения (1), проходящая через заданную точку
(x0,y0)eD.
§ 2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде
Здесь рассмотрим простейшие дифференциальные уравнения, решения которых записываются через элементарные функции и интегралы от коэффициентов уравнений. В этом случае говорят, что дифференциальные уравнения разрешимы в явном виде или в квадратурах.
1. Дифференциальные уравнения вида у' = /О)
Самым простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение
/(*) = /(*)> (1) где /(х) - заданная непрерывная на промежутке <а,Ь> функция.
Задача нахождения решения уравнения (1) в данном случае есть известная задача математического анализа об отыскании неизвестной функции
231
по ее производной. Данная задача решается с помощью понятия первообразной (т.е. неопределенного интеграла)
yix)=\f{x)dx.
Поскольку все первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой лишь на постоянную, то все решения уравнения (1) задаются формулой
y(x)=\f(x)dx + C. (2)
Придадим формуле (2) иной вид. Пусть х0 - фиксированная точка промежутка <а,Ь>, тогда неопределенный интеграл можно представить в виде (см. гл. 1, §9)
\f(x)dx = }f(t)dt + Сх (3)
*0
Подставляя (3) в (2) получим
У(х) = )f(t)dt + С + С, = ]f(t)dt + С2. (4)
*0 -«о
Формула (2) или (4) содержит все первообразные для /(х), поэтому они
содержат все решения уравнения (1). Таким образом, общее решение уравнения
(1) определяется по формуле (2) или (4).
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения у' = cos2x, xeR, удовлетворяющего начальному условию .у(О) = 1.
Решение. Данное уравнение относится к типу (1). Поэтому его решение находится по формуле (2):
у(х)= Jcos2 xdx+C = ^sin2x + C.
Полагая здесь ,у(х)|х=0 = ;у(0) = 0 + С = 1, находим С = 1. Тогда функция
у(х) =—sin2x + l = sinxcosx + 1
2
является решением поставленной задачи.
Ответ: у(х) = 1 + sin х cos х.
2. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:
fi(x)dx = f2(y)dy, (5)
которое называется уравнением с разделенными переменными.
Пусть найдено некоторое его решение .у(х). При подстановке у = у(х) в уравнение (5) оно обратится в тождество и, интегрируя его, имеем
J/: (x)dx = J/2 (y)dy + С, (6)
где С - произвольная постоянная. Получили уравнение (6), которому удовлетворяют решения уравнения (5). Обратно, каждое решение jy(x) уравнения (6) является и решением исходного уравнения (5), так как если у(х) обращает в тождество уравнение (6), то, дифференцируя это тождество,
получим, что у(х) обращает в тождество и уравнение (5). Следовательно,
равенство (6) содержит все решения уравнения (5) и оно называется общим интегралом уравнения (5). Из него при определенных условиях можно выразить у от х или х от у. Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed