Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
<p(z) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Для доказательства достаточно проверить для функции (29) условие (25). Используя теорему 4, интегрирующий множитель иногда удается найти. Представим уравнение (16) в виде
Px(x,y)dx + Qx (х, у) dy + Р2 (х, y)dx + Q2 (х, y)dy = О
и допустим, что удалось найти интегрирующие множители /л(^\х,у) и
ju^2)(x,y) и соответствующие интегралы и(01) (х, у) = Сх и и^\х,у) = С2 для уравнений
dx + Qj dy = 0 и Р2 dx + Q2 dy = 0.
Тогда в силу теоремы 4 все интегрирующие множители первого из этих уравнений будут: /их(х,у) = Мо\х,у)(р1(и^)(х,у)), а второго
ju2(x,y) = ju(02\x,y)<p2(u(02)(x,y)), где (рх и (р2 - произвольные
дифференцируемые функции. Если удастся подобрать функции (px(z) = q\(z) и
<Рг О) = 9i (z) так, чтобы /4°(х, у) (рх (и™ (х, у)) = ju(02) (х, у) <р2 (и(2) (х, у)), то
ju(x,y) = ^1)(х,у)<рх(и^)(х,уУ) - интегрирующий множитель уравнения (16). Пример 7. Найти общий интеграл уравнения
ydx-(x + x2+y2)dy = 0, (30)
если оно имеет интегрирующий множитель как функцию от х2+у2.
Решение. Интегрирующий множитель ju(x,y) найдем на основании теоремы 3, где о = х2 + у2. Тогда из уравнения (28) имеем
dlnju _ - 2 (1 + х) _ 1
Отсюда
ln/i = -ln а или /и = — = ——^—-
а х +у
Умножив уравнение (30) на найденный интегрирующий множитель ц, получим уравнение в полных дифференциалах
ydx
2 2 х +у
2 2 х +у
+ 1
dy- 0.
Решение последнего уравнения найдем на основании формулы (21):
(х,у) Л
ydx
(J*,) *2 +у2
• + 1
dy-С,
(31)
X +у
где (х0,у0) - некоторая точка из области D(zR2\{( 0,0)}. Пусть
(х0,.у0) = (1,0) . Поскольку интеграл (31) не зависит от пути интегрирования, то его вычислим по ломаной с вершинами в точках (1,0), (х,0) и (х,у), лежащей
в D:
ydx
Р 2 2
Г х2+у2
у=О
-I
2 2 х+у
+ 1
dy = С
х=const
или
-х\
dy г . 2----2~У = С-
о х2+у
(32)
Отсюда находим искомый общий интеграл уравнения (30)
arctg— + у = - С = С . х
Пример 8. Решить уравнение
(х3 - х у2 - у) dx + (х2у - у3 + х) dy = 0.
Решение. Уравнение (32) не является уравнением в полных дифференциалах, так как в области D = R2 : Р'у= -2лу -1 $Q'X = 2лу +1. Перепишем уравнение (32) в виде
х(х2 -y2)dx + у(х2 - y2)dy-ydx + xdy = 0.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
х(х2 -y2)dx + у(х2 -y2)dy = 0,
которое имеет интегрирующий множитель /^(х,у) = —г^—-
х -у
общий интеграл и^\х,у) = х2+у2 =Сг. Тогда все интегрирующие множители
уравнения (33) в силу теоремы 4 имеют вид ju^(x,y) = (рх{х2 +у2)/(х2-у2) . Второе уравнение
(33)
(уф±х) и
имеет интегрирующий множитель /л(2) =\/ху {ху Ф 0) и соответствующий интеграл и(02)(х,у) = у/х = С2. Поэтому все интегрирующие множители
уравнения (34) определяются по формуле /л2 - <р2
ху
Поскольку Фх И (р2 -
произвольные непрерывно дифференцируемые функции, то их подберем так, чтобы
1 'Л I . 2> 1
х2~у2
<Р^х +У ) =----------<Р2
ху
/у'
Это равенство выполнено, если (px{z) = \, (p2{z) = z/(l-z2). Тогда
интегрирующий множитель уравнения (32) имеет вид
H(x,y)=ft{x,y) = —1
х -у
2 ’
Умножая обе части уравнения (32) на /и(х,у) = \/(х2 - у2), получим уравнение
в полных дифференциалах
У
dx +
У +
х2 - у2
У х -у
Решая его, найдем общий интеграл уравнения (32)
У-х
dy = 0.
х +у -In
у + х
= С.
Иногда для решения некоторых уравнений можно непосредственно применить метод выделения полных дифференциалов от известных функций. Например, решить уравнение
ydx-(4x2y + x)dy - 0.
Представим его в виде
ydx-xdy~4x2ydy = 0
или
(35)
-х d
'у'
-4х2у dy = 0.
Отсюда при х Ф 0 получим
У
+ 2 у2
= 0
или
У
+ 2 у2=С.
Отметим, что х = 0 также является решением уравнения (35).
§ 3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений
Известно, какую важную роль в курсе алгебры играют теоремы, отвечающие на вопрос о том, сколько решений имеет алгебраическое уравнение или система таких уравнений. Такова, например, основная теорема алгебры, утверждающая, что многочлен п -ой степени всегда имеет ровно п нулей (корней) с учетом их кратностей. Точно также в теории дифференциальных уравнений важным является вопрос о том, сколько решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения.
