Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Уп =fn(x’ Ух, У2’ Уп) »
где функции /(•). = определены в области D пространства Rn+l
переменных x,yvy2, ..., уп; у1(х),у2(х), ..., уп(х) - неизвестные функции,
которая называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Набор функций
ух(х),у2(х),..., уп(х) , а<х<(5 , из класса непрерывно дифференцируемых на (а, /?) функций, удовлетворяющих системе уравнений (16) называется решением этой системы.
Уравнения
У^У^х), i = \,n, а <х<(3 , (*)
определяет в области D<z.R”+l кривую, которая называется интегральной кривой системы (16).
Пусть при х = х0 решение (*) системы (16) принимает значение:
у,(*0) = i = l,n, или это означает, что интегральная кривая (*) проходит
через точку O0»>'i0)>>;20)» = Оо>>о) • В силу системы (16) имеем
равенство
У\ Оо ) = /{х0,у^\у{2\..., у<0) ) = f(x0, у 0), которое означает, что касательный вектор к интегральной кривой (*) в точке
Оо.-Уо) Равен вектору {l,f1(x0,y0),f2(x0,y0),...,fn(x0,y0)}, направление
которого указывает направление движения точки (х,у1(х),...,у„(х))
интегральной кривой при возрастании параметра х.
Задача Коши. Пусть задана точка (х0,у\0),у^, ...,у^)е D. Требуется найти решение ух(х),у2(х),..., уп(х) системы уравнений (16),
удовлетворяющее начальным условиям :
>;iOo) = >;i(0)- З'гОо) = ^0).. Л0о) = ^0)- (17)
Геометрический смысл задачи Коши состоит в том, что ищется
интегральная кривая системы уравнений (16), проходящая через заданную точку
Оо, Уо) области D.
Определение 4. Функция f(x,yl,y2,... ,уп) в области D
удовлетворяет по переменным у^,у2, •••> У„ условию Липшица, если существует число К > 0, такое, что для любых двух точек (х, у[, у2,..., у'п) и (х, у", у", ..., у”) области D выполняется неравенство
Заметим, что если функция f(x,ylyy2,... ,у„) имеет в области D ограниченные частные производные по переменным Ух, У2, ¦¦¦ ¦, У„-
следует, что функция / удовлетворяет условию Липшица по переменным
Теорема 2. Если функции f(x,y1,y2,... ,уп), г = 1, п , непрерывны в области D и удовлетворяют в этой области по переменным ух, у2,..., уп условию Липшица, то для любой точки {х0, ^0), > ••• > У(„0)) области D
существует число h, такое, что на сегменте [x0-h, х0 + h] существует единственное решение у^х), у2(х)> ¦¦¦> У„ (х) системы (16),
удовлетворяющее при х = х0 заданным начальным условиям (17).
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1 методом последовательных приближений. В этом случае задача (16) и (17) эквивалентно сводится к системе интегральных уравнений
*о
Решение этой системы строится методом последовательных приближений по формулам
Более полное доказательство можно найти, например, в [15, гл. IV, § 1 ]. Отметим, что аналогичные замечания 1-5 имеют место для задачи Коши
\а//ду,\йк, j=1,* , то на основании теоремы Лагранжа (см. гл.1, §15, п.2)
У» Уг> - > Уп:
П
X
X
(16) и (17).
Аналогично определяется понятие общего решения системы (16).
Определение 5. Общим решением системы уравнений (16) в области D называется система функций
ух — срх(х,С;,С2? •••» Сп),
У2 = P2(X’Ci,C2, ¦¦¦, Сп),
.Уп =(рп(х,С1,С2,..., С„), которая зависит от переменной х и от п произвольных постоянных СХ,С2,..., Сп, если выполнены следующие условия :
1) она удовлетворяет системе уравнений (16) при любых значениях С,,С2,..., Сп из множества их допустимых значений;
2) какова бы ни была точка (x0,yl0),у^,, у^) из области D,
можно найти такие значения постоянных Сх = Cf°\ С2 = С2°\ ..., С„ = Сл(0), что система функций (18) удовлетворяла начальным условиям (17):
«(*0,с,т,с«о),
<
Рассмотрим частный, но весьма важный, случай системы уравнений (16), когда она является линейной в области D. Нормальная система линейных уравнений имеет вид:
У[ (х) = «11 (х)Ух (х) + «п (Х)У2 О) + • • • + aXn (х)у„ (х) + Ьх (*),
y'2(x) = a2l(x)yx(x) + a22(x)y2(x)+ ... +a2n(x)yn(x) + b2(x), s (>у;
. Уп О) = an\ О)^ О) + an2 (Х)У2 (x) + ¦ • ¦ ¦+ ann (Х)Уп (x) + К 0) ,
где известные функции atj{x), bt(x), 1,7=1, n, определены и непрерывны на [a, Р\. Правые части системы линейных уравнений (19)
fi{x,yx,y2,...,yn) = aix{x)yx(x) + ai2{x)y2{x) + ... +
+ аы (х)Уп О) + ьг О) = X ai; (Х)У] О) + b,(x),i = l,n,
j=1
непрерывны в замкнутой области
G ={(*, ух, у2,yn)\a<x< fi,\y\<d },
где d = mах max I >>,(.*:) I, и имеют в этой области ограниченные частные
1<;<Л asxsp 1 1
