Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
у(х0) = (р(х0) = у0. (2)
Доказательство. 1. Сведение задачи Коши к интегральному уравнению. Пусть у = у(х) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2). Тогда уравнение (1) превращается в тождество по переменной х. В этом тождестве х заменим на t и проинтегрируем его по t
от х0 до х :
У(х) = У0+ I fit, У(*)) dt • О)
ч
Итак, если функция у(х) является решением задачи Коши (1) и (2), то
она является также решением интегрального уравнения (3). Это уравнение называется интегральным, так как искомая функция у(х) находится под знаком интеграла. Обратно, пусть у = у(х) - решение интегрального уравнения (3). Тогда уравнение (3) становится тождеством. Полагая здесь х = х0, получим у(х0) = у0. Следовательно, решение у(х) уравнения (3) удовлетворяет начальному условию (2). Далее, дифференцируя обе части (3) по х, получим уравнение (1), т.е. решение уравнения (3) будет решением и уравнения (1).
Таким образом, равносильность задачи Коши (1) и (2) и интегрального уравнения (3) установлена. Поэтому в дальнейшем докажем существование и единственность решения интегрального уравнения (3).
2. Существование решения интегрального уравнения Для доказательства существования решения уравнения (3) в окрестности х0 применим метод последовательных приближений. За нулевое приближение
возьмем число у0 : у0(х) = у0. Определим первое приближение ух(х) по формуле
х
yi(x) = yQ+ ) dt,
х0
затем второе приближение через первое
X
у2(х) = у0+ dt,
*0
и т.д., после того как определено (п — 1)-е приближение, определим п-е приближение формулой
х
Уп(х) = Уо+ J/(f,3Vi(0) dt, ¦¦¦ ¦ (4)
*0
Теперь нужно убедиться в том, что приведенный процесс построения функций уп(х) не лишен смысла. Это может случиться, если точка (х, уп1(х)) выйдет за пределы области D, так как за пределами области D функция / (х, у) может и не существовать. Следовательно, необходимо ограничить промежуток интегрирования от х0 до х настолько, чтобы точки (х, yn(x))&D при любом
натуральном п. Поскольку (х0, у0) - внутренняя точка области D, то существует прямоугольная замкнутая окрестность Р этой точки, целиком лежащая в D. Пусть Р = {{х, у) | \ х- x0\<a,\y-y0\<b) <z D. По условию функция / (х, у) непрерывна в замкнутой области Р, поэтому она ограничена в ней, т.е. существует число М > 0, такое, что для всех (х, у) из Р справедливо неравенство : | / (х, у) | <М. Теперь возьмем число h > 0 таким, чтобы h< min {а, b/М}. Обозначим через Ph прямоугольник Р, где число а заменено на h. Ясно, что Ph cz Р . Тогда если точка (х, уп_х (х)) е Рк, то из
равенства (4) имеем
\Уп(х)-Уо\ ^
< М \х-хЛ < Mh < Ъ.
Отсюда следует, что точка (х, уп (х)) е Ph, если только (х, уп_, (х)) е Ph. Поскольку точка (x,y0)&Ph, то точки (х, yx(x))&Ph, (х,у2(х))&Рк и т.д., точка (x,yn(x))&Ph и т.д.. Итак, ни одно из последовательных приближений уп(х) не выйдет за пределы окрестности Р, если только xe[x0-h, xQ + h\. Покажем теперь, что все функции последовательности {уп(х)} непрерывны на сегменте [х0- h, xQ + h]. В самом деле, если функция уп_х(х) непрерывна на [x0-h,x0+h], то непрерывна и сложная функция / (х, уп_х(х)) на этом сегменте. Тогда из (4) имеем: у'п(х) = /(х, /я_,(х)) при любом
xg [x0-h,x0 + h]. Следовательно, функция уп (х) непрерывно дифференцируема на [х0 -h, х0 + h], поэтому она непрерывна на этом промежутке. Функция у0(х) = у0 непрерывна на [х0-h, х0 + /г]. Отправляясь отсюда, последовательно устанавливаем непрерывность функций ух(х), у2(х), ... на отрезке [x0-h,x0 + h]. Итак, мы установили, что
у„(х) g С1 [х0 - h, х0 + h\ при любом натуральном п .
Теперь приступаем к самому главному моменту доказательства теоремы. Покажем, что на отрезке [x0-h, x0+h] последовательность {^(х)} сходится
равномерно. С этой целью проведем вначале оценку разности | у„(х)~уп_х(х) |. Для этого воспользуемся условием, что функция / (х, у) в области D, в частности, на Рк по переменной у удовлетворяет условию Липшица (*). Тогда для любых х е [х0 - h, х0+ h]
\Уп(х)-Уп-х(х)\
<
<
Я fit, Уп-1 (0) - / (t, уп_2 (0) I dt
< К
• (5)
Исходя из (4) и (5) последовательно найдем оценки :
\\f(t,y0)\dt
<М
\dt
= М х-х„ ,
yi(t)~y0\dt
<
<K-M J(t-xQ)dt
*0
\Уъ(х)-У2(х)\ < К
= К-М
\х — хп
2!
Л^2(о-^(о|л
<
<-
к-м 2!
л
J (t-x0)2dt
К М\х-хп
3!
продолжая этот процесс, найдем
\Уп(х)~Уп-iO)| ZK'-'M*
