Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 106

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 283 >> Следующая

2. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения (1) в случае, когда правая часть /(х, у) является аналитической в окрестности
точки (x0,y0)eD, т.е. функция f (х, у) разлагается в степенной ряд по
степеням (x-x0) и (у-у0):
где fj - коэффициенты ряда. Тогда справедлива следующая теорема Коши : если функция / (х, у) является аналитической в окрестности точки (х0, у0)е D, то существует число h> О, такое, что на интервале
(x0-h,x0+ К) существует единственное аналитическое решение у = ср(х) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2).
окрестности точки (0, 0), так как /' =2 у 3 =2/\[у при у—» 0 обращается в
+ оо
f(x,y)= X Мх~хоУ(у~уоУ ¦
Доказательство этой теоремы проводится методом степенных рядов, т.е. решение задачи Коши (1) и (2) ищется в виде суммы степенного ряда
у{х) = с0+сх(х-х0) + ... +сп(х-х0у + ... с неизвестными коэффициентами сп. Подставляя этот ряд в уравнение (1) вместо у , дифференцируя полученное тождество по х необходимое число раз с учетом начального условия (2), однозначным образом последовательно находят коэффициенты сп через значения функции /(х, у) и ее частных
производных в точке (jc0, у0). Затем доказывается сходимость степенного ряда уже с известными коэффициентами сп в малой окрестности точки х0 (см. [11, §17]).
3. Теорема 1 обеспечивает существование решения у = ср(х) задачи Коши на некотором достаточно малом отрезке [x0—h,x0+h\, где h<mm.{a, b/М}. Это решение можно продолжить на более широкий отрезок. Справедлива следующая
Лемма 3 (продолжение решения). Пусть функция f(x,y)
удовлетворяет условиям теоремы 1 на замкнутой ограниченной области D. Тогда решение у = <р(х) уравнения (1), проходящее через точку (х0,у0) е D,
можно продолжить в обе стороны от точки х() до выхода на границу Г области D, т.е. продолжить на максимально широкий отрезок [a, 6] такой, что точки (a,<p(a)) и (Ь,ср(Ь)) принадлежат кривой Г.
Доказательство. По условию существует положительное число М такое, что при всех (x,y)eD: \ f(x,y)\< М и это число примем за М в доказательстве теоремы 1. В силу теоремы 1 существует единственное решение у = ср(х), проходящее через точку и определенное на отрезке
L0=[x0-h,x0+h]. Пусть xl=x0+h, p(xl) = yl. Если точка (х^у^ лежит внутри D, то эту точку примем за начальную и по теореме 1 строим новое решение у = срх (х), проходящее через (х1,>’1) и определенное на отрезке L\ ~ IX ~hl,x1 + AJ . Поскольку = ух = <р(хх), то в силу теоремы 1
решения срх (х) и (р (х) будут совпадать на отрезке L0vjLx. Таким образом, мы построим решение у = у/(х) задачи (1) и (2) на более широком отрезке:
_^\<р(х), x0-h<x<x0+h,
\(Р\ (х), x0+hl < х < х0 + h + hx, т.е. мы получили продолжение решения ср(х) с отрезка Ь0 на более широкий отрезок L0uLx. Построенное решение у/(х) обозначим снова через ср{х), так как у/(х) и (р{х) совпадают на L0. Этот процесс можно продолжить. Пусть
x2=xx + hx и y2 = <p(x2). Если (x2,y2) - внутренняя точка области D, то на основании теоремы 1 решение <р(х) задачи (1) и (2) продолжим на более широкий отрезок L^vjLxvjL2, где L2 =[х2-h2,x2+h2], и т.д. Если после конечного числа таких шагов решение ср(х) будет продолжено до точки границы Г, то наше утверждение доказано. Если этот процесс является бесконечным, то мы получим последовательность точек п = 1, 2,где хп+1 =xn+hn.
По условию область D ограничена, поэтому последовательность хп
ограничена. Поскольку хп строго возрастает, то существует конечный предел.
Пусть limxn=b. Так как решение ср(х) задачи (1) и (2) продолжалось на
каждый отрезок [хп,х/1+1], следовательно, оно продолжалось на их объединение
[;<с0,&). Пусть S> 0 - достаточно малое число и хх,х2 е (b-S,b). Тогда на основании теоремы Лагранжа (см. гл. 1, § 7)
\<р{х1)-<р{х2)\ = \<р'(%)\\хх-х2 \ = \/(%,у(%))\\хх-х2 \<М5. (14)
А (14) означает выполнение критерия Коши (см. гл. 1, § 4) о существовании конечного левого предела функции <р(х) в точке Ъ: lim ср(х) = (р(Ь-(У).
х->Ь-О
Положим, что ср(Ь) = (р(Ъ-0). Тогда функция ср(х) непрерывна на [ха,Ь\ и
последовательность точек (хп,уп) сходится к точке (b,cp(b)) при п—> + оо.
Теперь покажем, что (b,(p(b))e Г. По построению хп+х = xx+hl+h2+... + hn и
+00
хп+х —>Ь при п—>+ оо, то числовой ряд ^/гл сходится и поэтому hn0.
п=1
Если (b,<p(b)) <? Г, то она внутренняя точка области D, поэтому существует
замкнутый прямоугольник Р~ (см. доказательство теоремы 1) с центром в этой
точке, целиком лежащей в ?>\Г. Тогда снова по теореме 1 построим продолжение решения ср(х) задачи (1) и (2) на более широкий отрезок
[x0,b + h]. А это противоречит тому, что у строго возрастающей последовательности (хп) есть элемент b + h , который больше, чем b или противоречит hn0. Итак, решение ср{х) продолжено вправо (в сторону возрастания х) до границы Г области D. Функция ср(х) - решение задачи (1) и (2) на промежутке [х0,6), значит, она удовлетворяет интегральному уравнению (3) при x&[xQ,b). Так как функция <р(х) непрерывна на [хй,Ь\, то она на этом отрезке удовлетворяет уравнению (3). Тогда функция ср{х) является решением задачи (1) и (2) и на отрезке [х0,&]. Аналогичным образом решение ср(х) продолжается влево, т.е. в сторону убывания переменной х. Лемма 2 доказана.
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed