Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Я/(*. y)dxdy - JJ/O, y)dxdy+ jj/(x, y)dxdy .
0 0,02
3°. Если f (x, у) интегрируема в области D, то произведение с - f, с = const, также интегрируемо по области D и справедливо равенство fjc • f(x, y)dxdy = c j]f(x, у) dxdy ,
D D
то есть постоянный множитель можно выносить за знак двойного
интеграла.
4°. Если в области D интегрируемы функции / (х, у) и g(x, у), то в D интегрируема их алгебраическая сумма f ±g и справедливо равенство Я[/О, y)±g(x, y)\dxdy = Я/О, y)dxdy± \\g(x, у)dxdy.
D D D
5°. Если функции, fug интегрируемы в области D и
f(x,y) < g(x,y) в любой точке О>>0 ? D, то
Я/О’ y)dxdy< \\g(x, у)dxdy.
D D
6°. Если функция / интегрируема в D, то модуль | /1 также
интегрируем в D и справедлива оценка
Я/О’ У)dxdy
Я I/O, y)\dxdy.
<
D
7°. Если функция / интегрируема в D и удовлетворяет неравенствам А< f(x,y) < В в любой точке (х,у) е D, то
A-mD< Я/О, У)dxdy <B-mD .
D
8° (теорема о среднем). Если функции / (х, у) и g(x,y) интегрируемы в области D, g(x,y)> 0 или g(x,y)< 0 в D и A<f{x,y)<B в любой точке О,У) из D, то существует число /и е [А, В], такое, что Я/О, y)g(x, y)dxdy = /j\jg(x, у)dxdy.
D D
В частности, если функция / (х, у) непрерывна в области D, то существует точка такая, что /^ = /(^,7) и последняя формула
принимает вид
Я/О, y)g(x, у)dxdy = /(?, V)\\g(x, у)dxdy .
D D
5. Вычисление двойного интеграла. Пусть в прямоугольной области D = [a,b\c,d] = {{x,y)\a<x<b, c<x<d} определена ограниченная функция / (х, у) и пусть при каждом фиксированном х е [a, b] существует одномерный интеграл
\f{x,y)dy. (2)
С
Этот интеграл является функцией от х, т.е.
d
<Р(х) = \f{x,y)dy.
С
Если функция ср{х) интегрируема на сегменте [а,Ь], то интеграл
Ь bfd \
J, = \cp(x)dx= J \f(x,y)dy dx
а а\с J
называется повторным интегралом функции / (х, у) по области D.
Пусть при каждом у е [c,d] существует одномерный интеграл
jf(x,y)dx. (3)
а
Этот интеграл является функцией от у, которую обозначим через у/(у). Если функция ц/(у) интегрируема на сегменте [c,d], то интеграл
d dfb
J2 = Wiy)dy = J \f(x,y)dx
dy
¦ \a
также называется повторным интегралом функции /(х, у) по области D.
Теорема 11. Если функция / (х, у) интегрируема в прямоугольнике D = [a,b\ с, d], т.е. существует двойной интеграл
J= j\f(x,y)dxdy,
а с
и при каждом фиксированном х е \a,b] существует одномерный интеграл (2), то существует повторный интеграл ./, и двойной интеграл J равен повторному Jv т.е. J - ./,.
Если существует двойной интеграл J и при каждом фиксированном у е [с, d] существует одномерный интеграл (3), то существует повторный
интеграл ./2 и двойной интеграл J равен повторному ,/2, т.е. J = J2.
Теорема 12. Если функция / (х, у) непрерывна в прямоугольнике D = [a,b', c,d], то одновременно существуют повторные интегралы ./, и J2 U J J| J2 .
Понятие повторного интеграла можно ввести для более общих областей. Пусть область D ограничена двумя непрерывными кривыми y = q>x(x),
у = (рг (х) и прямыми х = а и х = Ъ (рис. 12).
Теорема 13. Если для функции f(x,y), определенной в области D, существует двойной интеграл
ЯД*. y)dxdy
и при каждом фиксированном х е [a,b] существует интеграл
\f(x,y)dy, то существует повторный интеграл
ь_ (№(*)
dx
и он равен двойному, т.е.
Ь_ ((М*)
dx.
(4)
\\f{x,y)dxdy= \ \f{x,y)dy
D а
Замечание 1. Если область D представляет собой криволинейную трапецию другого типа, т.е. ограничена непрерывными кривыми х = g:(y) и
x = g2(y) и прямыми у = с, y = d (рис. 13), то при условии существования
двойного интеграла функции f(x,y) по области D и одномерного интеграла
gi(y)
\f{x,y)dx
gt (у)
