Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 51

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 283 >> Следующая

L делит плоскость R2 на две части : внутреннюю и внешнюю. Это утверждение было доказано французским математиком К. Жордано (1838 - 1922). При этом кривую L называют границей фигуры Ф.
Многоугольник Р называется вписанным в фигуру Ф, если каждая его точка принадлежит Ф или ее границе и будем писать РсФ. Если все точки фигуры Ф и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику Q, то будем
говорить, что Q описан вокруг фигуры Ф и это будем обозначать так : Ф cQ (рис. 9).
Рис. 9
Ясно, что площадь любого вписанного в фигуру Ф многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры Ф многоугольника.
Пусть {тР} - множество площадей, вписанных в фигуру Ф многоугольников Р, a {mQ} - множество площадей .описанных вокруг фигуры Ф многоугольников Q. Числовое множество {тР} ограничено сверху, а множество {mQ} ограничено снизу. Тогда множества {тР\ и {mQ} соответственно имеют точные границы, т.е. грани (см. § 1, п.З): mt = mt (Ф) = sup {тР} , т - т (Ф) = inf {mQ} .
Числа mt и т называются соответственно внутренней площадью и
внешней площадью фигуры Ф. Ясно, что т,<т*.
Определение 1. Плоская фигура Ф называется квадрируемой, если т,=т*. При этом число т = т„(Ф) = т*(Ф) = т(Ф) = тФ называется площадью (мерой) фигуры Ф.
Теорема 1. Для того чтобы фигура Ф была квадрируемой (т.е. имела площадь тФ), необходимо и достаточно, чтобы для любого ? > 0 можно было указать два многоугольника Р и Q, такие, что РсФс^ и mQ — тР<?.
Определение 2. Гоаница L плоской фигуры Ф имеет площадь, равную нулю, если для любого ? > 0 можно указать два многоугольника Р и Q, такие, что РсФс^ и mQ- тР < ?.
На основании этого определения теорему 1 можно сформулировать так.
Теорема 2. Для того чтобы фигура Ф была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела нулевую площадь.
Лемма 1. Любая непрерывная кривая, заданная явным уравнением: y = f(x), a<x<b или x = g(y), c<x<d, где / и g - непрерывные функции, имеет нулевую площадь.
Лемма 2. Если фигура Ф ограничена конечным числом непрерывных кривых, каждая из которых удовлетворяет условиям леммы 1, то эта фигура квадрируема.
Теорема 3. Для того чтобы фигура Ф была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательности многоугольников Р„ и Qn< такие, что Рп с Ф с Qn и limmPn = limmQn = т Ф.
П п
Теорема 4. Если для фигуры Ф можно построить две последовательности квадрируемых фигур Рп и Qn, такие, что Рл сФс^л
и limmPn =limmQn = тФ, то фигура Ф квадрируема и ее площадь равна
п п
тФ.
Лемма 3 (аддитивность). Если Ф, и Ф2 - квадрируемые плоские фигуры без общих внутренних точек, то их объединение Ф[ и Ф2 квадрируемо и справедливо равенство т(Ф1 иФ2) = тФ[ + тФ2.
Лемма 4 (инвариантность). Если квадрируемые фигуры Ф[ и Ф2 равны, то их площади равны между собой, т.е. тФ[ - тФ2.
Лемма 5 (монотонность). Если Ф[ и Ф2 квадрируемы и сФ2, то
тФх < тФ2.
Криволинейной трапецией называется фигура Ф, ограниченная графиком Г заданной на сегменте [о, Ъ\ непрерывной и неотрицательной функции f, прямыми х = а , х = Ь и отрезком оси Ох между точками а и b (рис. 10).
Теорема 5. Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на сегменте [а, Ъ\, то криволинейная трапеция Ф квадрируема и ее площадь
ь
тФ= \f(x)dx.
а
Криволинейным сектором называется плоская фигура F, ограниченная простой кривой АВ и двумя лучами (О А) и (ОБ) (рис. 11).
Пусть кривая АВ задана в полярной системе координат уравнением
г = g(<p), а <(р<(3.
Теорема 6. Если функция g(<p) непрерывна и неотрицательна на [а, /3], то криволинейный сектор F квадрируем и его площадь определяется по формуле
т F = ^ \r2d(p = ^ lg\<p)d<p .
^ a ^ a
2. Двойной интеграл. Пусть функция и = f(x, у) определена и ограничена на квадрируемой замкнутой области D плоскости R2. Под т будем понимать разбиение области D на конечное число частей Д., i = l,n, без общих внутренних точек, с помощью некоторой сети кривых меры нуль. На Д мы не накладываем никаких ограничений, кроме квадрируемости их и отсутствия у них общих внутренних точек. Части Д могут быть связными, но могут и не
п п
быть связными. Важно только то, что [jDi = D и ?аиД = mD . Под диаметром
(=1 i=i
области D понимается верхняя грань множества расстояний между любыми точками области D. Ясно, что диаметр области D существует, если область D ограничена. Наибольший из диаметров частей Д. будем называть
диаметром г разбиения области D на части Д, г = 1, и, и обозначать
символом Л(г). Рассмотрим произвольное г - разбиение области D на части
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed