Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
производные их и иу и они равны нулю: их (0,0) = иу (0,0) = 0. Однако точка
(0,0) не является точкой экстремума, так как данная функция в точке (0,0) равна нулю и в любой как угодно малой окрестности этой точки принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Теорема 2 (второе необходимое условие). Пусть функция / (х) в
окрестности точки экстремума х0 имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков. Тогда
df(x0) = t.-j-(xo)dxi = 0,
1=1 dxi
n n f (х Л
dV(*o) = l.Z^rSr1dxidxj>0 ;=1 j=l (iX-flX j
в случае, когда x0 является точкой минимума функции /(х) и d2f(x0)< 0 в случае, когда х0 - точка максимума функции / (х).
Отметим также, что неравенство d2f(x0)> 0 (<0) является
необходимым, но не достаточным условием того, чтобы точка х0 была точкой
минимума (максимума). Например, функция и = f(x,y) = х3 + у3 имеет единственную точку (0,0), где d/(0,0) = 0 и d2f{0,0) = 0. Однако в этой точке функция f (х,у) не имеет экстремума.
Для формулировки достаточных условий существования точек локального экстремума функции приведем вспомогательные сведения о квадратичных формах из курса алгебры. Квадратичная форма
QW= ? МЛ’
(D
и=1
QW > 0 при всех
где Я = (Я,, Я^,..., Яп) е R", an = ау, называется:
а) положительно определенной, если
Л*0 = (0,0,...,0);
б) отрицательно определенной, если Q (Я) < 0 при всех ЯфО;
в) неопределенной, если существуют точки Я' и Я" из R" такие, что
0(Л')>О и 0(Л")<О.
Теорема 3 (критерий Сильвестра). Для положительной определенности квадратичной формы (1), необходимо и достаточно, чтобы все следующие определители были положительны:
А, =аи >0, Л2 =
*2i
12
-22
>0, ..., а„ =
*21
22
In
2л
>0.
*п1 п2 ¦¦¦ ит
Отметим, что квадратичная форма <2(Я) отрицательно определена только тогда, когда квадратичная форма -Q(?C) положительно определена, то есть при чередовании знаков определителей Ак: А, <0, Д2>0, ...,
(-1)*А* >0, к = ТГп.
Отметим, что дифференциал второго порядка (18) § 15 функции и = / (х) при фиксированном х представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов dx{, dx2,d хп независимых переменных | ^2 i * * ¦ j л
Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция и = /(х) имеет в некоторой окрестности точки х0 е D a R" непрерывные частные производные первого и второго порядков и d /(х0) = 0. Тогда если второй дифференциал d2f(x0) в точке х0 является положительно определенной квадратичной формой, то х0 - точка строгого минимума функции /; если d2f(x0) является отрицательно определенной квадратичной формой, то х0 - точка строгого максимума; если d2f(x0)
109
является неопределенной квадратичной формой, то функция f в точке х0
не имеет экстремума.
Пример 1. Найти точки локального экстремума функции
/ (x,y,z) = х2 +2х у + 4х z + 8у z + 5у2 + 9z2. (2)
Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум функции (2),
заданной в D = R3. Для этого на основании теоремы 1 составим систему
х + y + 2z = О, x + 5y + 4z = 0, 2x + 4y + 9z = 0.
fx = 2х + 2у + 4z = 0,
4 =2x + 8z + 10j/ = 0, fz = 4x + %y + \%z = 0,
Определитель полученной системы
1 1 2
д= 1 5 4 = 16 > 0,
2 4 9
поэтому однородная система имеет единственное нулевое х = у = z = 0. Итак, функция (2) имеет единственную точку
подозрительную на экстремум. Теперь вычислим d2 f (0,0,0). Как известно,
df2(x,y,z) = fxx(dx)2 +fxydxdy + fx2dxdz +
+ fyx dydx + fyy (,dy)2 + fyz dy dz+ f^dzdx + dz dy + fa (dz f.
В точке (0,0,0) найдем все частные производные второго порядка : fxx= 2 , 4=/* = 2, /==/«= 4, 4 = 10, 4 = 4=8, 4=18.Отсюда
решение
(0,0,0),
Ai =/« = 2>0; Д2 =
Лу
Л
.ХУ
2
10
= 16 > 0;
fxy 2 2 4
Дз = fyx fyy fy. 2 10 8 = 8-A = 8-16 > 0
fzx fy /» 4 8 16
Тогда на основании критерия Сильвестра квадратичная форма d2f (0,0,0) положительно определена, поэтому точка (0,0,0) является точкой строгого
минимума функции (2).
На практике часто возникает задача об экстремуме функции двух переменных и = f(x,y). В связи с этим, на основании критерия Сильвестра,
приведем формулировку теоремы 4 для случая п = 2 .
