Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
при этом dx, dx2... dxn = dx называют элементом объема в R".
Для и-кратных интегралов остаются справедливыми все свойства и условия существования, сформулированные для двойных интегралов.
Область D назовем цилиндрической относительно оси хп, если
D {x (Xj ,X2,...,Xn) I (Xj ,x2 € Cl,(p(x 1 ,x2 < xn < l/^(Xj ,x2 ,...,Xn_x )} ,
где Q - замкнутая ограниченная область в Z?”"1, функции ср \л ц/ непрерывны в Q.
Теорема 1. Если D - область цилиндрическая относительно оси хп, а f(x) - непрерывная на D функция, то справедлива формула повторного интегрирования
f(xl,x2,...,xn)dxldx2...dxn =
D
V(X\ х2 -х„-д
= jdxxdx2...dxn_x jf(xx,x2,...,xn)dxn. (4)
Пусть задано отображение области G a R" на область D формулами: xl=<Pifo>G2>-’?n)’ х2=^1-4.-.0. *n=<Pni?i>?.2’-’0’ которое
кратко можно записать в векторной форме x = q>(^), где ср = {(pvq>2,...,q>n),
g = (%x,g2,...,gn), и будем считать данное отображение регулярным. Понятие
регулярного отображения вводится совершенно аналогично § 13. Тогда справедлива следующая формула замены переменных в п - мерном интеграле:
\f(.x)dx=\nvm\JiS)\^,
D G
где
д<рх д<рх д<рх
а?. ^2 д{п
дср2 дср2 дср2
а?. д?2 а?.
д<Р„ д<Р„ д<Р„
а?. д%2 а?.
В пространстве R" сферические координаты определяются равенствами:
xx=r sinвх sinв2 •... • sinвп_х,
< хт =rcos6'm_,nsin6't,rn = 2,3,...,«-l, (5)
k=m
xn=rcos0n_,,
где r> О, 0 < вх < 2л , 0 <вт<л, т = 2,...,п-1. В этом случае якобиан отображения (5) имеет вид
ЛгАА.-А-,) = >¦-' nsin*-4.
к=\
Элемент объема в п - мерных сферических координатах равен | J(r,ei,e2,...,en_i) | rdrddx dd2...ddn.
Пример 3. Вычислить п - мерный интеграл
д/х,2 +х2 + ... + х2 dxx dx2 ...dxn, (6)
D
где D - n- мерный шар радиуса R с центром в начале координат:
D = {x\r2 < R2}.
Решение. В интеграле (6) перейдем к сферическим координатам (5) и, пользуясь формулой повторного интегрирования (4), получим
J= jV” dr \ddx \sm.e2de2...\smn~l e^dd^ .
0 0 0 0
Как известно,
л/2
Ik-\ sin* xdx =
1- 3- 5-...-(2m-l) n
, к = 2m,
2-4-6-...- 2m 2 2-4-...¦ 2m
1, к = 2m + \,
3-5-...-(2m + l)
где m - натуральное число. Ясно, что 10=п/2, /, =1. Тогда интеграл (6) определяется по формуле
TR^x
и Л, 12 ...
п + 1
4. Несобственные кратные интегралы. По аналогии с §10 здесь рассмотрим обобщение понятия кратного интеграла на случай неограниченной области и неограниченной подынтегральной функции. Понятие несобственного кратного интеграла будем вести так, чтобы охватить оба случая.
Пусть D - область R". Последовательность открытых измеримых
множеств {Dk} будем называть исчерпывающей множество D, если
Dn a Dn+i и D = (jDn .
n=1
Пусть в области D задана функция м = /(х), х = (х1,х2,...,хл), интегрируемая по Риману на любом замкнутом измеримом подмножестве области D. Рассмотрим всевозможные последовательности {Dk},
исчерпывающие область D.
Определение 1. Если для любой последовательности {Dk},
исчерпывающей область D, существует предел числовой последовательности
lim ak = lim \f{x)dx (7)
k k A
и этот предел не зависит от выбора последовательности {Dk}, то он называется несобственным интегралом от функции /(х) по области D и обозначается теми же символами
\/{x)dx или f(xi,x2,...,xn)dxldx2...dxn. (8)
D D
При этом несобственный интеграл (8) называется сходящимся, если предел (7) конечен, в противном случае интеграл (8) называется расходящимся.
Теорема 2. Для сходимости несобственного интеграла (8) от неотрицательной в области D функции /(х) необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы для одной последовательности {Dk}, исчерпывающей
область D, была ограничена числовая последовательность (ak) из (7).
Теорема 3 (общий признак сравнения). Пусть функции /(х) и g(x)
всюду в области D удовлетворяют условию 0 < /(х) < g(x) . Тогда из
сходимости несобственного интеграла \g(x)dx вытекает сходимость
D
несобственного интеграла §f(x)dx, а из расходимости jf(x)dx вытекает
D D
