Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4*. Пусть функция u = f(x,y) в окрестности точки
(х0,У0)G D с R2 имеет непрерывные частные производные первого и
второго порядков и fx (х0 ,у0) = /у (х0, у0) = 0. Тогда, если
/« (*0 > У О ) > 0 . /„ (*0 , У О ) fyy (Х0 >Уо)-Л1(Х0,Уо)>0’ то функция f в точке (х0,у0) имеет строгий локальный минимум; если
/я (Х0 » >>0 ) < 0 . /„ (*0 > >>0 )fyy К ’ >>0 ) ~ fxy (*0 , >>0 ) > 0 .
то функция f в точке (х0,у0) имеет строгий локальный максимум.
§ 17. Неявные функции. Зависимость функций
1. Неявные функции. Во многих вопросах математического анализа и его приложениях приходится сталкиваться с такой ситуацией, когда переменная и , являющаяся по смыслу функцией аргументов хх, х2, хп, задается посредством функционального уравнения
F(xx, х2,..., хп, u) = F(x, и) = 0, (1)
где F(-) - заданная функция переменных хг, х2, хп, и. В этом случае
говорят, что переменная и как функция переменных хх, х2, ..., хп задана неявно. Более строго данное определение выглядит так.
Определение 1. Если функция F (х, и) от п +1 переменных
хг,х2, ... ,хп, и задана на множестве G с Rn+1 и существует функция
и = f (х) от п переменных х1,х2, ..., хп, определенная на множестве
D<^Rn, такая, что при всех х = (х15 х2, ..., xn) е D точка
(jtp х2, ..., xn, f(x))eG и справедливо тождество
F(хj, х2, xn,/(xj, х2, ..., Хп)) = 0, то / называется неявной функцией,
заданной уравнением (1).
Из определения следует, что название неявной функции связано лишь со способом ее задания, то есть при помощи функционального уравнения (1). Возникают следующие вопросы :
1) существует ли неявная функция, определяемая уравнением (1);
2) если такая функция существует, то будет ли она единственной;
3) какими свойствами обладает такая функция, т.е. когда она будет
непрерывной, дифференцируемой.
Рассмотрим примеры.
1. Функциональное уравнение
F(х, у, и) = х2 + у2 +и2 -1 = 0
в пространстве R3 переменных (х, у, и) определяет единичную сферу с центром в начале координат. Данное уравнение определяет в круге К : х2 + у2 < 1 явные функции :
и(х, у) = -J 1-х2 -у2 при и > 0,
и (х, у) = —у] 1 - х2 - у2 при и< 0,
щ
так как для каждой точки (х, у)еК ставится в соответствие единственное значение и(х, у) и
F(x, у, д/l-*2-у2) = 0 или F(x, у,-д/l-x2-у2 ) = 0.
2, Уравнение эллипса
2 2 X у
-гг + 4г = 1, а,Ь>О,
l2 7
a b
задает 3/ как функцию от х на сегменте [-а, а]. Для каждого х е [ - а, а] ставится в соответствие единственное значение у \
b г~2-----2
у = — у!а -х при 3/ > 0, а
У = ~— л/л2 -х2 при у<0. а
3. Функциональное уравнение
х2 + у3 —1 = О
определяет у как функцию от х на числовой прямой R, так как для любого
х е R существует единственное значение у = V 1-х2 .
Удобные для приложения достаточные условия однозначной разрешимости уравнения F (х, у) = 0, содержащего две переменные хх = х и х2 = у в некоторой окрестности U(M0) точки М0=(х0, у0), для которой F(хо, у0) = 0, относительно у даются следующим утверждением.
Теорема 1. Пусть: 1) функция F (х, у) имеет в окрестности U (М0) точки М0 = (х0,у0) непрерывные частные производные Fx(x, у) и Fy (х, у); 2) F(x0, у0) = 0; 3J производная Fy (х0, у0) Ф 0. Тогда существует замкнутая прямоугольная окрестность точки М0
Р(М0, а, Ь) = {(х, у) | |х-х0|<а, \у - y0\<b}<zU {М0), в которой уравнение F (х, у) = 0 определяет у как функцию f от х. Функция у = f (х) непрерывно дифференцируема на интервале (х0 - а, х0 + а) и
&=_ F*(x» f(x))
Fy(x, f(x))
Точно также формулируется теорема, аналогичная теореме 1, в случае уравнения (1).
Теорема 2. Пусть: 1) функция F(х{,..., xn,u) = F(x,u) имеет в окрестности U(х0, и0) точки (х0, и0) = (х1(0),х(п°\ и0) непрерывные
частные производные FXi,F ,...,F и Fu; 2) F(x0,u0) = 0; 3) частная производная Fu (х0, и0) Ф 0 . Тогда существует замкнутая прямоугольная окрестность точки (х0, и0)
Р((х0, и0), ах, а2,ап, Ь) =
= {(х, и) | JC, -х,(0)|<а,,|х„ -х'0)|<<2„, |и-и0|<6}с?/(х0, и0),
в которой функциональное уравнение (1) определяет и как функцию f от х. Функция u = f(x) имеет непрерывные частные производные в окрестности Р(х0, Op а2,ап) точки х0 и
dF(x, и)
ди{х)
дх-
Зх. д F (х, и) ди
, 2=1, П.
u=f(x:)
Выясним условия, при которых система уравнений
F,(Xp х2,..., х„, их, и2,..., um) = F1(x, и) = 0,
