Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
F2(Xp х2,хп,щ, и2,..., ит) = F2 (х, и) = 0,
(2)
¦^т С*"1’ -*2» U\ ’ М2’ •"> ^т) F„ (х, U) 0
однозначно разрешима относительно переменных их, и2, ..., ит в некоторой
окрестности точки (х0, и0), х0 =(х[ \ х2х' м0 =К > иг > •••> )¦ в
которой Fi (х0,и0) = 0 при всех i = l,m, т.е. при каких условиях система (2) определяет неявные функции ui =f (хр х2,..., х„), i = l,m.
Рассмотрим /м функций Fx(x,u), F2(x,u)....... Fm (х, и) , стоящих в левых
частях системы (2), и составим из частных производных этих функций следующий определитель
J 2 J *"5 Ли) г./ Л
D(m,, m2, ..., mJ
Fv F2,..., Fm по переменным uv u2, ..., .
9F, dFx 9F,
Эм, ди2 дит
dF2 дР2 дР2
9 м, ди2 дит
dFm д?т т
т
9 м, ди2 дит
т
I1, или якобианом
1 Якоби Карл Густав Яков (1804 - 1851) - немецкий математик.
8 — 5026
Теорема 3. Пусть: 1) функции F (х, и), i = l,m, имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности U(х0, и0)
D(FX, F2, ..., Fm)
точки (х0, и0); 2) F(х0, и0) = О, г = 1, т; 3) якобиан ----------- —2-"’—— фО в
D(ux, и2, ..., ит)
точке (х0,и0). Тогда существует замкнутая прямоугольная окрестность точки (х0, и0)
Р((Хо, ио)> ^1’ ^2’ ’ ^1’ ^2’ •••’ ^т) —
Р (Х0 ’ ^1» ¦¦¦’ ая)*Р (и0 ’ ^1 ’ ^2 ’ ¦ " ’ )
= {(х, и) | х, - jcf0)| < ax, | x2 - *<0)| < a2,| -x'0)| < an,
|Mi -Mi(0)| ^ b\> -’\um -Mi0)| ^ U Oo> Mo)>
в которой система уравнений (2) определяет переменные их, и2,.... ит как
функции от переменных х], х2, ..., хп. Функции и{ = f(xx,x2,хя), i = l, т, имеют непрерывные частные производные в окрестности Р(х0, ах, а2, ..., ап) точки х0 и
D(Fx,F2,...,Fm)
диЛх) ?>(»„ .... ик_,, х„ ик+х,..., ит) k = l,m, i = l, л.
дх, D(Fx,F2,...,Fm)
D(ux, и2, ..., ит)
2. Зависимость функций. Пусть т функций от одних и тех же п переменных
uj= fMx,x2,...,xn) = fj(x), j = 1, т , m<n, (3)
непрерывно дифференцируемы в области D пространства Rn, п> 2.
Определение 2. Функция fm(x) называется зависящей от функций fx(x), f2(х), ..., fm_x(x) в области D, если существует непрерывно дифференцируемая функция F(ux, и2,..., ит_х), такая, что при всех х е D справедливо равенство
fm(x) = F(fx(x), f2(x),..., /т_,(х)).
Система функций f(x), f2{x), ... , fm(x) называется зависимой в
области D, если хотя бы одна из этих функций зависит от остальных в области D. В противном случае система функций называется независимой в области D.
Примеры. 1. Три функции от четырех переменных
их = хх + х\ + х] + х\, и2 = хх + х2 + хг + х4, и3 = 2х,х2 + 2ххх3 + 2ххх4 + 2х2хъ + 2х2х4 + 2хъхА
F(У\-> У2) = У\ ~ У2 > такая, что при всех (хх, х2, х3, x4) е D :
и, = F(и2, и3) = щ — и3.
2. Функции щ= х +у и и2~ х-у двух переменных независимы в любой области плоскости.
Теорема 4. Пусть т функций от п (п>т) переменных (3) непрерывно дифференцируемы в области D и зависимы в этой области. Тогда якобиан из этих функций по любым т переменным равен нулю в области D.
Следствие. Если якобиан функций (3) по каким-либо т переменным отличен от нуля в некоторой точке области D, то система функций (3) независима в D.
Отмеченные в примере две функции их=х + у и и2=х — у независимы в любой области плоскости, так как якобиан J(щ, и2) = -2*0 всюду на плоскости.
Из частных производных функций (3) составим следующую функциональную матрицу
К К
cbtj дх2 д*т дх„
д/2 д/2 ?2 ?2
дхх дх2 д*т дхп
Я, Я, ?т
дхх дх2 д*т дхп
состоящую из т строк и п столбцов. Эта матрица называется матрицей Якоби.
Теорема 5. Пусть у матрицы (4) хотя бы один из миноров порядка г <т<п отличен от нуля в точке х0 области D и все миноры порядка
г +1 равны нулю в некоторой окрестности U точки х0. Тогда г функций из
указанного минора г - го порядка независимы в области D, а каждая из остальных т-r функций зависит в окрестности U от указанных г функций.
§ 18. Двойные интегралы
1. Понятие квадрируемости плоской фигуры и ее площади (меры)
Многоугольной областью или просто многоугольником называют часть плоскости, ограниченную простой (без точек самопересечения) замкнутой ломаной линией. Понятие площади (меры) многоугольника известно нам из курса школьной математики. На основе понятия площади многоугольника введем понятие площади плоской фигуры Ф части плоскости, ограниченной простой замкнутой кривой L. Отметим, что простая замкнутая плоская кривая
