Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
тела V. Если числа mt и т совпадают, то тело V называется кубируемым.
При этом число mV = m.(V) = т*(V) называется объемом (мерой) тела V . Справедливы следующие утверждения.
1. Для кубируемости тела V необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 можно было указать два многогранника X и Y, такие, что X a V с: Y и mY-mX < е .
Граница S тела V, т.е. замкнутая ограниченная поверхность, имеет объем, равный нулю, если для любого е > 0 можно указать два многогранника X и 7, такие, что и mY-mX < е, т.е. ее можно было заключить
в многогранное тело с произвольно малым объемом.
2. Для того чтобы тело V было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы его граница S имела нулевой объем.
К числу поверхностей с нулевым объемом относятся поверхности, определяемые явным уравнением одного из трех типов
z = y = g(x,z), x = h(y,z), (1)
где f,g,h - непрерывные функции в некоторых плоских замкнутых областях.
3. Если тело V ограничено конечным числом непрерывных поверхностей, каждая из которых выражается явным уравнением одного из трех видов (1), то это тело имеет объем.
4. Для того чтобы тело V имело объем, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательности многогранников Хп и Yn, такие,
что Хп с V с Yn и limmXn - limтYn = mV, то тело V кубируемо и его
п п
объем равен mV.
5. Если для тела V можно построить две последовательности кубируемых тел Хп и Yn такие, что Хп с V с Yn и limmXn = limmYn - mV,
n n
то тело V кубируемо и его объем равен mV.
Рассмотрим примеры вычисления объемов кубируемых тел.
Пример 1. Прямой цилиндр V высоты Н, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура Ф, имеет объем : mV = Н тФ .
Действительно, рассмотрим многоугольники Рп и Qn, такие, что Рп с Ф с Qn и limтРп = limmQn = тФ. Это всегда возможно, так как плоская
п п
фигура Ф квадрируема (см. теорему 3 § 18). На этих многоугольниках построим прямые призмы Хп и Yn высотой Н. Тогда их объемы равны : тХп = Н тРп,
mYn = Н mQn. Отсюда имеем
limтХп = limmYn - Н тФ.
п п
Пример 2. Рассмотрим тело V, содержащееся между параллельными плоскостями, скажем, х = а и х = Ь, и станем рассекать тело V плоскостями, перпендикулярными к оси Ох. Предположим, что все образуемые при этом сечения квадрируемы и площадь сечения S(x) является непрерывной функцией на [а,Ь~\. Такое тело кубируемо и его объем вычисляется по формуле
ь
mV=\S(x)dx. (2)
а
Из данного примера видим, что объем тела не зависит от формы сечения, а только от его площади. Отсюда вытекает известный принцип Ковальери.
Если два тела, содержащиеся между параллельными плоскостями, обладают тем свойством, что в сечении их любой плоскостью, параллельной данным плоскостям, получаются равновеликие фигуры, то объемы тел равны.
Рассмотрим частный случай примера 2, т.е. тела вращения. Представим на плоскости XOY кривую, заданную уравнением
y = f(x),a<x<b, где f(x)> 0 и непрерывна на [a,b]t и станем вращать вокруг оси Ох криволинейную трапецию. Тогда получится тело вращения. В этом случае S(x) = 7i у1 = я f2 (х). Тогда из (2) получим
ь
mV = 7i\f2(x)dx.
a
2. Тройной интеграл. Пусть в замкнутой кубируемой области F с R3 задана функция u = f(x,y,z). Разобьем область V с помощью сети
поверхностей с нулевым объемом на конечное число частей Vn i = \,n, без
общих внутренних точек. На каждой части V. произвольным образом возьмем
точку (x^y^Zj) и составим интегральную сумму
o' = Zf(xI,yi,zi)mVl. i=1
Обозначим через Л(т) диаметр г - разбиения области V на части Vi, то
есть наибольший из диаметров частей Vi: Л(т) = maxdiam^..
i
Предел интегральной суммы а при Л(т) -» 0 называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по области V и обозначается символом
jjjf(x>y,z)dV s \\\f{x,ybz)dxdydz . (3)
V V
Условия существования тройного интеграла совершенно аналогичны условиям существования двойного интеграла. Перечислим их.
1. Необходимым условием существования тройного интеграла (3) является ограниченность подынтегральной функции / в области V.
Аналогично вводятся суммы Дарбу:
s = Y,mi-mVi, S = Y.M, ¦mVi ,
;=i /=1
где mi = inf / , М; - sup /.
' К'
2. Необходимым и достаточным условием существования интеграла (3) является условие
