Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Д, i = l,n. В каждой части Д произвольным образом выберем по одной
точке (?., ?7() е Д и составим сумму
^ = 1Ж>77,)™Д ¦
{=1
Сумма <т называется интегральной суммой Римана функции f (х, у) по области D, отвечающей данному г - разбиению области D. Сумма а зависит от г - разбиения области D на части Д. и выбора точек (?., ?/,) из частей Д : ст = ег(т, (?,7;)).
Определение 3. Число J называется пределом интегральных сумм a при Л(т) —> 0, если для любого ? > 0 существует число 8 > 0, такое, что
при любом т -разбиении области D на части Д и при любом выборе точек (?., Т];) е Д. из условия Л(т) < 8 вытекает неравенство
| <т - J I < S .
Определение 4. Если существует предел J интегральных сумм а при Л(т) —> О, то он называется двумерным определенным или двойным интегралом функции и = f (х, у) по области D и обозначается символом
fl/Oc, y)dD или \\f{x, y)dxdy.
D D
При этом сама функция /(х, у) называется интегрируемой по Риману по области D. Итак,
JJ/O, y)dxdy = J= lim rji)mDi . (1)
Ь i=i
Из определения двойного интеграла следует, что если /(х, у) = 1, то из (1) имеем
ГГ 1 dD= lim У mD = lim mD = mD ,
JJ Я(т)->0'*—' i(rW0
В (=1
т.е. при /(x, y)sl двойной интеграл по области D равен площади
квадрируемой замкнутой области D .
3. Условия существования двойного интеграла
Теорема 7 (необходимое условие интегрируемости). Если функция и = f (х, у) интегрируема по Риману по замкнутой квадрируемой области D, то она там ограничена.
Отметим, что условие ограниченности функции / будучи необходимым для ее интегрируемости, не является достаточным.
Следствие. Если функция / (х, у) неограничена на области D, то она неинтегрируема по области D.
Пусть f (х, у) определена и ограничена на квадрируемой замкнутой
области D и рассмотрим г-разбиение этой области на части Д., i = l,n. Тогда суммы
п п
S = mDi , s ~'^mi mDi ,
i=1 i=l
где M = sup f(x, у), m, ~ inf f(x, у) называются соответственно верхней и
Dj D’
нижней суммами Дарбу. Ясно, что S = S(г), s = s(r), s <S .
Теорема 8. Для того чтобы ограниченная на квадрируемой замкнутой области D функция f была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы
lim (S-s) = 0.
Я(т)—>0
Исходя из этой теоремы устанавливаются важные классы интегрируемых функций.
Теорема 9 (достаточное условие интегрируемости). Если функция / (х, у) непрерывна на квадрируемой замкнутой области D, то она там интегрируема.
Доказательство. По условию функция / (х, у) непрерывна на
квадрируемой замкнутой области D, тогда она там равномерно непрерывна (см. теорему 7 § 14). Пусть е - произвольное положительное число. По
свойству равномерной непрерывности по числу e/mD>0 существует число
? > 0 такое, что как только расстояние между любыми точками (У, У) и
(х", у") области D меньше чем 8 , будет вытекать неравенство
I /(*', У') - f(x, У") I < "77 ¦ (*)
mD
Разобьем область D на части Di так, чтобы диаметр разбиения Л(г)<8. Тогда для любых пар точек и (*", у") из Di будет
выполняться неравенство (*). Поэтому для любого Я(т) < 8 : М( -mi < s/mD . Отсюда при Я(т) < 8 имеем
S-s = Y4(Mi-mi)mDi < YmDi = е, м mD i=i
а это означает, что lim (S-s) = 0.
Л(г)—> О
Требование непрерывности функции / на D слишком стеснительно. Для
приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций.
Теорема 10. Если функция / (х, у) ограничена на замкнутой квадрируемой области D и непрерывна на D всюду, кроме некоторого множества площади (меры) нуль, то / (х, у) интегрируема по D.
4. Свойства двойного интеграла
1°. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой на D функции / (х, у) на множестве меры нуль с тем условием, чтобы полученная функция g(x,y) оставалась ограниченной на D, то g(x,y) также интегрируема по D и ее интеграл равен интегралу функции / (х, у):
Яg(x> y)dxdy = ЯД*, y)dxdy.
D D
2° (аддитивность интеграла). Пусть f (х, у) интегрируема в области D и область D разбита с помощью кривой меры нуль на две области Dx и D2 без общих внутренних точек. Тогда f (х, у) интегрируема на каждой части D] и D2. Справедливо и обратное утверждение. При этом верно равенство
