Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала первый случай. Поскольку хр х2, ..., хп являются независимыми переменными, то дифференциалы dx{, dx2, ..., dxn не зависят от Jtj, х2, ..., хп. Поэтому
-Д ddx.
d(dxk) = ^
1 = 1 OX;
d x, = 0.
С учетом этого на основании (17) и (16) вычислим
d2u = d(du) = ——{d u)dxi = ?
д
i=i dxi n n d2u
1=1 *=l ox^x.
/=1 dx,
n
dxtdxk = X
” du L^dxk k= 1 ox.
< \ d2u
d x, =
i,k=i dx,dxt
-dx.dx
к '
(18)
Если u = f(x,y) - функция двух переменных, то формула (18) принимает вид
d2u = d2f (х, у) = (х, у) (d х)2 + fxy (x,y)d xd у +
+ /ух (x,y)dydx + fyy (х,у)(d у)2 = dx2 + 2f4 dxdy + f}y dy2.
Здесь мы воспользовались теоремой 8, так как функция f (х, у) дважды
дифференцируема по условию в рассматриваемой области D.
Во втором случае другой вид имеет формула вычисления дифференциалов второго и высших порядков. Установим здесь формулу для
d2u, считая, что аргументы х15 х2, , хп являются дважды
дифференцируемыми функциями независимых переменных t{, t2, ..., tk.
Повторяя рассуждения при выводе формулы (18), имеем
г \
d2u = YJ
д
i=i дх,
i V
V j
2l-r—dxk
k=1 oxt
d x. =
б и
ди d
d X; d x. + / /
м м dxt dxk {fa dxk 3x.
(dx*)
d x, =
= z
(19)
д2и " du j2
_ —— dXidxk + X ~z d xk.
1,к=\ОХ(ОХк *=i oxk
Сравнивая полученные выражения (18) и (19) убеждаемся, что
дифференциал второго порядка в отличие от дифференциала первого порядка уже не обладает свойством инвариантности формы записи. В случае функции и = f (х,у) двух переменных формула (19) имеет вид
d2 / (*, у) = f^dx2 + 2f dx dy + f dy2 +fxd2x + f d2y .
6. Замена переменных. Часто в различных вопросах математического анализа и других разделах математики встречаются функциональные выражения, содержащие независимые переменные, функцию и ее производные. Ставится задача перехода к новым независимым переменным в целях упрощения данного выражения или в силу важной роли новых переменных. Все такие замены делаются на основании правил дифференцирования сложных функций.
Пусть нам задано выражение
„( du ди д2и д2и д2ил
(20)
v дх ' ду дху’ дх2 ду2
содержащее независимые переменные х, у, функцию и = и(х,у) и ее частные производные первого и второго порядков, здесь F( ¦ ) - заданная функция своих аргументов, переменная точка (х,у) принадлежит области D с R2y. Вместо переменных х и у вводятся новые независимые переменные ? и г/ по формулам
[х = х(?,ч),
1 y = y(^v),
где функции x(^,tj) и у{^,т]) дважды дифференцируемы в области Gc:R2in. При этом будем предполагать, что система (21) однозначно разрешима относительно переменных ? и tj :
U = ^(x,y),
\r] = rj(x,y), (x,y)eD, и функции ?(х,у) и т]{х,у) дважды дифференцируемы в области D. Требуется преобразовать выражение (20) к новым переменным % и ij относительно функции w(<^,Tj) = u(x,y) = u[x(^,Tj),y(^,T])]. На основании теоремы 4 о дифференцировании сложной функции имеем :
du dw дЕ dw drt „ , ч
— =----------- +------- = (22)
дх д?, дх drj дх
ди _ dw д% dw drj dy dcf dy drj dy Теперь, уже используя формулы (22) и (23) для частных производных и
УУ ху
Uxx = (Ux)x = К 4х + % г1х)х = К ?)* + К Ч*)* = = (wf)* 4х + W^xx + (% )* Vx +WnVxx =
= [(Wf [К )f & + (% \ *1 л*lx +
+ w( + Wn 77„ = Wg ?2 + 2Wsn ? T]x + wnn Til + wf + W4 77 „; (24)
uyy=(uy)y=(w^y+wn?ly)y =
= wff ? + 2win ?y t]y + w,;;; + we ^ + w, 77^; (25)
uxy = (u*)y = (wf ? + w, TJx)y = (We)y 4X + >vf ^ + {wn)y T]x + w„ T]xy =
= ? Zy + wtr, (? 1JX ) + %„ Vx Vy + + wn rjxy. (26)
Подставляя значения переменных x, у, функцию u(x,y) = w(^,rj) и ее производные по формулам (21) - (26) в (20), получим новое функциональное выражение относительно функции w(^,T]):
Ф(?, 77, w, w4, ws, и^, wm).
Рассмотрим примеры.
Пример 4. Преобразовать оператор Лапласа
