Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 56

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 283 >> Следующая

lim (S - j) = 0.
Я(т)—>0
3. Достаточным условием существования интеграла (3) является непрерывность подынтегральной функции / в области V .
Тройные интегралы обладают всеми свойствами, которыми обладают двойные интегралы, поэтому они здесь не приводятся.
Вычисление тройных интегралов как в случае двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов. Пусть существует тройной интеграл (3) по области V. Это возможно, если по крайней мере f(x,y,z)
непрерывна в V . Рассмотрим частные случаи области V .
а) Пусть V - прямоугольный параллелепипед, т.е.
V = [a,b; c,d;e,f] = {(x,y,z) \ a<x<b, с< x<d, e<z </}, который проектируется на прямоугольник D = [a,b;c,d] плоскости XOY. Тогда
$jf(x,y,z)dV = JJ f \f{x,y,z)dz dxdy = \dx \dy jf(x,y,z)dz.
V D \e J ace
б) Пусть область V представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху соответственно поверхностями z = f}(x,y) и z = f2(x,y), проектирующимися на замкнутую квадрируемую область D плоскости XOY; с боков тело V ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz (рис. 19). Тогда
f '
Ш/(*>y>z)dv = JJ J f(x,y,z)dz dxdy.
V D V/, (х,у)
Рис. 19
Пусть задано отображение области Q a R3 на область V формулами :
x = x{^,?i,C), у = у(%,т),?), z = z(%,?i,C)
и будем считать данное отображение регулярным. Понятие регулярного отображения области Q на V вводится совершенно аналогично § 18. Тогда справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле:
JJJA*.y,z)dV = г/,С),у($,Г/,С), z{?,Tj,С)]I ’V,С) I dr/ d? ,
V п
где

./(<?,Я,О = y'i Л У'с
4 4
Наиболее употребляемыми заменами
переменных являются цилиндрические:
x = rcos<p, y = rsin<p, z = z, 0<<р<2л и сферические координаты:
x = rsin#cos^, у = rsmdsmcp, z = rcos#, 0<<р<2л, 0<в<л.
В случае цилиндрических координат якобиан J{r,<p,z) = г, а в случае
сферических координат J(r,<p,d) = г2 sin# .
3. п - кратные интегралы. В полной аналогии с теорией двойных и тройных интегралов строится теория п - кратных интегралов, т.е. теория
интеграла Римана в пространстве R". При определении класса квадрируемых
фигур в R2 и класса кубируемых тел в R3 были использованы понятия площади многоугольника и объема многогранника из курса элементарной математики, которые обладают свойствами аддитивности, инвариантности и
монотонности. В R" при п > 3 дело осложняется тем, что неизвестен объем
130
(мера) тела (множества), ограниченного гиперплоскостями. Для введения класса кубируемых тел (измеримых множеств) берут за основу объем и-мерного прямоугольного параллелепипеда, все ребра которого параллельны осям координат. Объем такого п - мерного параллелепипеда определим как число, равное произведению длин всех его ребер, выходящих из одной вершины.
Назовем элементарным телом множество точек R", представляющее собой объединение конечного числа п - мерных прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек, ребра которых параллельны осям координат. Объем элементарного тела определяется как сумма объемов составляющих его параллелепипедов.
Пусть теперь D - произвольная ограниченная область в R". Нижним объемом области D назовем верхнюю грань m,=m,(D) объемов всех содержащихся в D элементарных тел, а верхним объемом области - нижнюю грань т* = т*(D) объемов всех элементарных тел, содержащих область D .
Область D называется кубируемой (измеримой), если m,(D) = m*(D) = m(D). При этом число m(D) = mD называется объемом (мерой) области D в R".
Пусть в замкнутой измеримой области D пространства R” задана функция и = /(х) = f(x1,x2,...,xn) . Разобьем область D с помощью сети
поверхностей с нулевой мерой в R" на конечное число измеримых частей Д,
___ п п
i = \,n , без общих внутренних точек так, чтобы D = (J Д , mD = ^mDt . Такое
i=i /=1
разбиение будем обозначать символом т . На каждой части Д. произвольным
образом возьмем точку '\...,х^)) и составим интегральную сумму
Римана
<r(TA) = i,f(.&)mDi ¦
i=1
Обозначим через Л(т) диаметр г - разбиения области D на части Д, т.е. наибольший из диаметров частей Д .
Предел интегральной суммы ст(т,?.) при Л(т) 0 называется п-мерным или п - кратным интегралом функции f (х) по области D и обозначается символом
f(xl,x2,...,xn)dxl dx2 ...dxn или J/(x)<ix,
D D
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed