Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
В интеграле из правой части равенства (6), совершая замену t = ?(5),
получим формулу для вычисления криволинейного интеграла первого рода
jf(x,y,z)ds = \f[x{t),y{t), z{t)]yjх'2 (t) + у'2 (0 + z’2 (t)dt. (7)
L a
Поскольку криволинейный интеграл первого рода определяется через обычный определенный интеграл по отрезку, то на криволинейный интеграл переносятся все свойства определенного интеграла.
Здесь отметим некоторые специфические свойства интеграла (5).
1°. Если /(х, у, z) = 1, то Jds = mes L = I.
L
2°. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой, т.е.
J f(x, у, z)ds = J/(х, у, z)ds.
L L
3°. Криволинейный интеграл первого рода обладает свойством
п
аддитивности, т.е. если L = {jLt, где Lt не имеют общих внутренних
/=1
точек, то
J/(x,y,z)ds = J \f(x,y,z)ds.
L <=1 A
Отметим, что криволинейный интеграл первого рода (5) можно было определить как предел интегральной суммы. Если Т есть разбиение сегмента [О, /] на частичные сегменты: 0 = 50 < s, • •• < sn = I, то
\f(x,y,z)ds = lim Е/[х(яД;ф,),г(>,.)]Д5,. ,
L Л(Г)-»0 (.=1
где Л(Т) - диаметр Т разбиения сегмента [0,/], As. = st .
Если f(x,y,z)> 0, то ее можно интерпретировать как линейную
плотность материальной кривой L. Тогда криволинейный интеграл (5) выражает массу кривой L.
2. Криволинейные интегралы второго рода. Пусть D - область
пространства R3, в каждой точке которой задан вектор. Тогда говорят, что в
области D задано векторное поле. Если в R3 введена прямоугольная декартовая система координат, то векторное поле можно задать при помощи трех скалярных функций:
F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R{x„y,z)).
Если функции P,Q,R непрерывны в D, то и поле F называется непрерывным в D. Если R = 0 и функции Р и Q не зависят от z, то векторное поле F называется плоским. В этом случае F = (Р(х,у), Q(x,y)).
Пусть в области D задано векторное поле F = (Р, Q, R), а г = r(t), a<t<b, есть уравнение гладкой кривой L, лежащей в D. Определение 2. Определенный интеграл
и и
J(F, г') dt = j[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)-
+ Q(x(t),y(t),z(t))y'(t) + R(x(t),y(t),z(t))z'(t)] dt (7)
называется криволинейным интегралом второго рода от векторного поля F по кривой L и обозначается символом
j(F,dr) или jPdx + Qdy +Rdz, (8)
L L
где dr = (dx, dy, dz). Итак, по определению
b
J(F, dr)= j(F(x(t),y(t),z(t)),r'(t))dt
L a
или по координатам
b
\Pdx + Qdy + Rdz= l[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+ Q(x(t),y(t),z(t))y'(t) +
+ R(x(t), y(t), z(t))z'(t)]dt. (9)
Если векторное поле F = (P, Q, R) непрерывно на гладкой кривой L , то определенный интеграл (7) всегда существует, следовательно, и существует криволинейный интеграл второго рода (8).
Отметим некоторые свойства интеграла (8).
1°. Криволинейный интеграл второго рода не зависит от способа параметризации кривой L.
2°. Криволинейный интеграл второго рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак, т.е.
\(F,dr) = -l(F,dr).
L L_
3°. Криволинейный интеграл второго рода обладает свойством аддитивности.
Отметим, что криволинейный интеграл второго рода можно было определить и как предел интегральных сумм.
Если кривую L рассматривать как траекторию движения материальной точки, а вектор F - как силу, действующую на эту точку, то криволинейный
интеграл (8) выражает собой работу силы F вдоль кривой L .
Если параметром кривой L является переменная длина ее дуги s, то в силу теоремы 4 §12
dr (dx dy dz'] . _
(cos or, cos p, cos y).
ds
dx dy dz ds’ ds’ ds
Тогда криволинейный интеграл второго рода выражается через криволинейный интеграл первого рода:
dr Л \(F,dr)= J \ F,— ds= §(Р cosa + Qcos fl + R cos y)ds .
L L \ ds J L
Криволинейные интегралы первого и второго родов можно определить для кусочно-гладких кривых L. Пусть Т - такое разбиение отрезка [а,/?], что
каждая из дуг Lk кривой L, заключенная между точками r(tk_x) и r(tk), (к = 1,л ), является гладкой. Тогда по определению положим, что
jf(x,y,z)ds = Y, {/(x,y,z)ds, |Pdx + Qdy + Rdz = J] jPdx + Qdy + Rdz.
L *=1 I.t L k=\ Lk
Пример 1. Вычислить интеграл
