Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
у/х(хх,х2,... ,хп_х, х™) = у/х,
i//2(xx,x2,... ,хн_х,х™) = ц/2, (14)
ц/п,Х(хх,х2,... ,хп_х, х<0)) = у/п_х,
где i//k(x), к = \,п-\ - независимые интегралы системы (3). Поскольку якобиан
J(i//x,4/2, -,у/п-х) =
Р(у/х,у/2,...,у/п_х) D (Xj, х2,..., хл_[)
* 0,
то в окрестности точки х0 система может быть разрешена относительно
•^1» х2,..., хпХ .
*1 = (W 1> У*2> ••• > Wl)>
х2 — (о2 (ij/x, у/2,..., ^
Хп_х = соп_х (щ, у/2,..., у/п_х).
временные у7к прини Wk -tyk{xо) = У/Лх\>>^ ¦¦¦¦ » xi0))’ то соответствующие функции сок принимают значения х(к\ к = \, п-\\ функции со. имеют ту же гладкость, что и сами
При этом если переменные у/к принимают значения
—0______/„ \_____/„(0) „(0)>
функции у/к. Тогда функция
U (Хр Х2, ... , Хл) — (p\(Qx(}j/x, Ц/2, ... , Ц/л_]), (02{\j/x, Ц/2, ... , Ц/ п_\),
••• > 4-l(^l> ^2> - » Vn-l)} (16)
является решением задачи Коши, т.е. задачи (1) и (13). Действительно, выражение (16), являясь функцией от частных решений i//x{x), i//2{x),..., I//п_х{х), само является решением уравнения (1) и при
хп = х^0) в силу систем (14) и (15) удовлетворяет граничному условию (13).
В случае, когда искомая функция и зависит от двух переменных х и у, т.е. когда мы имеем дифференциальное уравнение
у)^ + Ь2(х, у)^- = 0, (17)
дх ду
задача Коши состоит в том, чтобы найти решение и=и(х, у) уравнения (17), удовлетворяющее условию
У)\У=У0 = <Р(Х)> (18)
где (р{х) - заданная непрерывно дифференцируемая функция одной
переменной. Геометрически это означает, что среди всех интегральных поверхностей уравнения (17) найти интегральную поверхность и=и(х,у),
которая проходит через заданную кривую (18) и лежит на плоскости у = у0, параллельной координатной плоскости (х, и).
Пример 4. Найти решение и (х, у) дифференциального уравнения в частных производных (12), удовлетворяющее условию
и{х, У)\у=0=(р{х),
где ср{х) - заданная непрерывно дифференцируемая функция.
Решение. Общее решение уравнения (12) (см. пример 2) определяется формулой и (х, у) = Ф(х2 +>>2) . Полагая здесь у = 0, получим
и(х, 0) = Ф(х2) = <р(х).
Отсюда Ф(х) = <р(л[х). Тогда решение задачи определяется формулой
и(х, y) = (p{^jx2 +/).
Вместо задачи Коши для уравнения (1) можно рассмотреть более общую задачу: найти решение и = и (хр х2,..., хп) уравнения (1), содержащее функции
Хк ~ Фк (^1» ^2 ’ ''' ’ ^и-1) ’ к = 1 П ~ 1 ’
и — (p(tx, t2,..., tnX), (19)
где (рк и ср - непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов tv t2,..., tn_x. Это значит, что должно выполняться тождество
^(/l’ ^2’ •" ’ ^л-1) — ^ (/l ’ ^2’ •" ’ ^л-l)’ 9*2 (^1> ^2> •” > ^л-l)’
"• ’ P«-l(*P ^2> •" > *.-.)] ’
Для уравнения (17) обобщенная задача Коши, т.е. задача (1) и (19), формулируется так - найти решение и=и(х, у) уравнения (17), содержащее заданную кривую
x = <px(t), y = <p2(t), u = <p(t). (20)
При этом должно быть выполнено тождество
cp(t) = u[(px{t), (p2{t)].
Геометрически обобщенная задача (17) и (20) означает, что требуется найти интегральную поверхность уравнения (17), проходящую через заданную кривую (20).
Чтобы найти решение задачи (17) и (20), найдем общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
= (21)
&iO> у) Ъ2{х> у)
Пусть
у/(х,у) = С (22)
есть общий интеграл уравнения (21). Пусть кривая x = <p{(t), y = <p2(t) не является кривой семейства (22), т.е. не является интегральной кривой
уравнения (21). Эту кривую подставим в (22):
4'[<Pi(t),<P2(t)] = 4'(t) = C ¦ (23)
Отсюда найдем t как функцию от у7 : t = (о(ц7). Теперь рассмотрим функцию
и = <р (со (у/ (х, у))) = Ф(ц/ (х, у)) , которая является решением задачи (17) и (20), так как
cp(o)(y/((p{(t), (p2(t)))) = (p(co(y7)) = (p(t).
Пустьтеперь кривая x = (p^(t), y = <p2(t) является интегральной кривой уравнения (21), т.е. if/{cpx(t), <p2(t)) = С = С0 = eons?. Поскольку любое
решение и(х, у) = Ф(у/(х, у)) уравнения (17) на интегральной кривой
уравнения (21) принимает постоянное значение
