Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
г 2
Отсюда находим
J_ х-хп
г г2
гг гг
Аналогично находится
УУ 2 4
Г г
Подставляя найденные значения производных ип и в уравнение Лапласа,
имеем
2 2(х-х0)2+2(у-у0)2 2 2
ихх+иуу---^ +--------------4----------------——+ —= 0
во всех точках (jc,jv) плоскости R2 за исключением точки (jc0,%). Таким образом, функция м = 1п1/г является решением уравнения Лапласа всюду на плоскости R2 за исключением точки (jc0,_у0), где она обращается в +°о.
Дифференциальное уравнение в частных производных, как и обыкновенное дифференциальное уравнение, в большинстве случаев имеет бесконечное множество частных решений, т.е. определяет некоторое семейство (множество) функций, удовлетворяющих данному уравнению. Совокупность таких решений образует общее решение дифференциального уравнения в частных производных. Между общими решениями обыкновенных дифференциальных уравнений и общими решениями дифференциальных уравнений в частных производных имеется существенное различие.
Как известно (см. гл. 3), общее решение обыкновенного дифференциального уравнения
/ = /(*>%/). У = У(х), (6)
представляет собой семейство функций, зависящее от двух произвольных
постоянных:
у = (р(х,Сх,С2). (7)
Любое частное решение дифференциального уравнения (6) получается из (7), если постоянным Сх и С2 придать определенные значения. Например, обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
/ + 4у = 0
имеет общее решение вида
у (jc) = С, cos 2х + С2 sin 2х,
где Сх и С2 - произвольные постоянные. Если задать начальные условия у(0) = 0, у'(0) = 1, то удовлетворяя общее решение этим начальным
условиям, получим систему для нахождения значений С, и С2 :
Гу(0) = С, Л + С2 -0 = 0,
{/(О) = -2 С, • 0 + 2 С2 -1 = 1.
Отсюда находим, что С,=0, С2-1/2. Следовательно, соответствующее частное решение имеет вид
у Ос) = — sin2x.
2
Рассмотрим любое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными х и у, не содержащее производной, например по у
ди^
Х>У, и’
v dxJ
= 0. (8)
В уравнение (8) входит только частная производная ди/дх, при вычислении которой переменная у считается фиксированной (постоянной). При фиксированном значении у дифференциальное уравнение (8) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с искомой функцией и и независимой переменной х. Пусть общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид
и = <р(х, у, С) . (9)
Решение (9) содержит у как параметр и оно при постоянном С является решением уравнения (8). Для того чтобы функция (9) была решением уравнения (8) необходимо и достаточно, чтобы С было постоянным относительно х, т.е. оно может быть любой функцией от у. Тем самым получим наиболее общее решение дифференциального уравнения в частных производных (8), если подставим на место С произвольную функцию от у , например ц/ (у):
и = <р(х,у,у/(у)). (9,)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка вида (8) содержит одну произвольную функцию из
класса C(R) непрерывных функций. В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
д U O')
и-х-------х у =0, (10)
дх
которое перепишем в следующем виде:
ди 1 2
— - — и = —ху дх х
и у рассматриваем как параметр. Последнее уравнение представляет линейное дифференциальное уравнение первого порядка, его общее решение есть и = Сх-х2у2. Тогда общее решение дифференциального уравнения в частных производных (10) определяется по формуле
и (х, у) = ху/(у) - х2у2, у/(у) е C(R)
У дифференциального уравнения в частных производных более высоких порядков общее решение, как увидим ниже, содержит произвольные функции, количество которых, вообще говоря, равно порядку уравнения.
Например, пусть дано дифференциальное уравнение в частных производных
йг=0 (11)
