Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
16. Пусть Л и ц - неравные характеристические числа ядра К(х, t).
Доказать, что собственные функции уравнений
ь _ ъ
ср(х) = Л jК(х, t)(p{t)dt, у/(х) = И \К*(х, t)y/(t)dt
а а
Ь _
ортогональны, т.е. (ср, у/) — ^cp{x)y/(x)dx = 0.
а
Указание. Смотри доказательство теоремы 8 § 6.
17. Доказать, что однородное интегральное уравнение первого рода с симметрическим непрерывным ядром
ъ
JК(х, t)<p(t)dt = 0
а
имеет ненулевое решение ср{х) из С[а,Ь] только тогда, когда ядро K(x,t) незамкнуто. Указание. Смотри определение 2 § 7.
18. Пусть симметрическое непрерывное ядро К(х, t) является
замкнутым. Тогда интегральное уравнение первого рода
JК(х, t)<p(t)dt = f(x)
а
в пространстве С[а, Ь\ может иметь не более одного решения.
Указание. Рассуждать методом от противного.
19. Пусть симметрическое непрерывное ядро К(х, t) является
замкнутым. Тогда для разрешимости интегрального уравнения первого рода
J К(х, t)q>{t)dt = f(x)
а
в пространстве С[а, b] необходимо, чтобы числовой ряд
I ^ Л2. п
k=1
где Лк - характеристические числа ядра, fk ={f,(pk), {<рк(х)} -
соответствующая система собственных функций, f(x) е С[а, Ь], сходился. Показать, что сходимость ряда (*) не является достаточным условием существования решения данного интегрального уравнения в классе С[а, Ь].
Указание. Воспользоваться теоремой Гильберта - Шмидта и
неравенством Бесселя.
20. Доказать, что в случае интегрального уравнения Вольтера (К(х, t) = 0 при t>x):
а) все следы Ап ядра K(x,t), кроме первого, равны нулю, т.е. Ап= 0 при всех п > 2;
б) знаменатель Фредгольма D(A) не имеет ни одного нуля и имеет вид
D{A) = eAl\
Указание. С учетом того что Кп (х, t) = 0 при t > х вычислить Ап (см. [9, §15]).
21. Доказать, что для того, чтобы ядро К(х, t) интегрального уравнения Фредгольма не имело характеристических чисел, необходимо и достаточно, чтобы следы ядра
Ап =\кп(х> x)dx = 0
а
при всех и > 3 . Указание. Это есть теорема Лалеско и ее доказательство можно найти в [3, п. 584].
ГЛАВА 5
Дифференциальные уравнения в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения в частных производных.
Основные понятия
Пусть D - область п -мерного пространства R" точек х = (х1,х2,...,хп), п > 2 . Наиболее общее дифференциальное уравнение в частных производных к-го порядка от п независимых переменных я;,, х2, ... , хп может быть записано в следующем виде:
F
^ ди ди ди дки ^
... ,хп,и(х),
= 0,(1)
дх, ’ дх2 ’ ’ дхп ’ ’ дх,' дх2~ ...дхк" ’ j
где к, + к2 + ... +кп = к, и = и(х) = и{хх,х2,... ,хп) - неизвестная функция, F (¦) - заданная функция от своих аргументов . Здесь D называется областью
задания уравнения (1).
Примеры :
1) и+и +...+и +и2 = 0 - дифференциальное уравнение первого
Л] Л 2 Х„
порядка;
2) +и + ... + их х +x,Mt| +х2их +... + хпих +sinM = 0 - дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка;
3) их,ихххгхъ +ихл +их1хг =cos(x1x2) - дифференциальное уравнение в
частных производных третьего порядка, здесь и = и(х,,х2,х3).
Таким образом, уравнение в частных производных называется уравнением к-го порядка, если оно содержит хотя бы одну частную производную к-го порядка и не содержит производных более высокого порядка.
Определенная в области D задания уравнения (1) функция и(х) = и(х,,х2,... ,хп) непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение и обращающая его в тождество по независимым переменным х,, х2,..., хп, называется классическим решением или просто решением дифференциального уравнения (1).
Если размерность пространства R" равна 2, т.е. п = 2 , то в дальнейшем будем писать хх - х, х2 = у. Если п = 3, то будем полагать, что х, = х, х2 = у, х3 = Z .
Уравнение в частных производных (1) называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производных.
Уравнение в частных производных называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных искомой функции. Например, уравнение
г ди' 2 ди'
+
VdxJ
ди д и ди д и 7
------ +---------^ + и = О
