Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
сохраняет постоянное значение.
Доказательство. Пусть кривая у : jc, = jc,(f), jc2 = jc2(t),jcn = xn(t), a <t < P - произвольная интегральная кривая системы (2). Тогда на основании теоремы дифференцирования сложной функции
d и ~dt
du[xx(t), х2(t),:c„(f)] _ 5м dxx du dx2 + ^ du dxn
d t dx{ dt dx2 dt dxn dt
ди ди ди
= — bl(x) + -— b2(x) + - + —= йс, гас2 dxn
так как w(jc) - решение уравнения (1). Отсюда следует, что и(х) = const на кривой у .
Определение. Соотношение и(х)~ const, где функция
и(х) = и(хх, х2,хп) из класса C\D) -один раз непрерывно
дифференцируемых в области D функций, называется первым интегралом системы (2), если на любой интегральной кривой этой системы, лежащей в D, функция и (jc) постоянна.
Теорема 2. Функция и - ц/ (jc,, х2,хп) является решением дифференциального уравнения (1) тогда и только тогда, когда соотношение ц/(лг,, х2,..., xn) = const является первым интегралом системы (2).
Доказательство. Пусть у/(хх, х2,..., xn) = const - первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2), где
(*р х2,..., xn)eD. Пусть у : хх= xx(t), х2= x2(t),xn= xn(t) , a<t</3 -
любая интегральная кривая системы (2), лежащая в области D. Тогда полный дифференциал функции у/ на кривой у равен нулю, т.е.
дхх 1 дх2 2 дхп ”
Поскольку хх =x,(f), х2 -x2(t),..., xn - xn(t) являются решением системы (2), то, заменяя в (4) дифференциалы dxx, dx2,dxn их значением из системы (2) и сокращая на dt, получим
^(Х)Аги)+..Ап{х)^.
(7.Х | ОХ2 п
Полученное равенство и означает, что функция и = ц/(хх, х2,хп) является решением уравнения (1).
Обратно, пусть и = у/(хх, х2,хп) является произвольным решением
уравнения (1) в области D. Тогда в силу теоремы 1 функция у/(хх, х2, хп) на любой интегральной кривой у системы (2), лежащей в D, сохраняет постоянное значение. Тогда Ц/(хх, х2,xn) = const есть первый интеграл системы (2).
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения в частных производных
ди „ ди ди
х----2 у-----z— = 0 (5)
дх ду dz
в области D = {(jc,_y,z)| у > 0} .
Решение. Составим соответствующей дифференциальному уравнению (5) систему уравнений характеристик
dx dy _ dz
х —2у —z
Эта система имеет следующие первые интегралы:
ty1(x,y,z) = xz = C1, y/2(x,y,z) = x^Jy =С2, цгъ(Xу,z) = -4= = С3.
ЫУ
Тогда функции ux(x,y,z) = xz, u2(x,y,z) = х Jy , u3(x,y,z) = z j\[y
являются решениями уравнения (5) в области D.
Далее постараемся найти вид наиболее общей функции,
удовлетворяющей уравнению (1). Пусть
Ых(хх,х2,... ,*„) = С„ цг2(хх,х2, ... ,хп) = С2, ...
1 У'»-1(х1>х2,...,хя) = Ся_1
есть система независимых интегралов системы (3), определенная в области
D a R". Отметим, что условие независимости интегралов (6) системы (3) означает, что якобиан
D(xl,x2,
в области D, если хп принять за независимую переменную и
Ьп(хх,х2,..., хп) Ф 0 в области D.
По теореме 2 все функции ц/х(хх,х2,... ,хя) , ц/2(хх,х2, ... ,хп), ..., цг„^(хх,х2,... ,хп) являются в области D частными решениями уравнения (1), т.е. при любом х = (хх,х2,... ,хп) е D верны равенства
Ly/k(x) = 0, к = 1, п-1.
Возьмем теперь произвольную, но непрерывно дифференцируемую функцию Ф от аргументов у/х,у/2,... ,у/п_х :
и(х) = Ф(ц/х,ц/ 2,...,у/я-х). (7)
Оказывается, что функция Ф является решением в области D уравнения (1). Действительно, подставляя функцию (7) в уравнение (1) на основании теоремы дифференцирования сложной функции и принимая во внимание, что функции у/к из (6) являются в D решениями уравнения (1), получим
ЭФ ЭФ ЭФ
ЬФ = Ьх(х)— + Ъ2(х)—- + ... + *„(*)— = охх дх2 дхп
ЭФ ду/к ЭФ ду/к ЭФ ду/к
= ь1(х)1,^-1г± + ^ + ... + bn(x)Y -- /*- =
*=i дц/к дхх *=1 ду/к дх2 к=\ дц/к дхп
ьМд^ + + ... +
дх, дх., дх.
V, ^ Л2
Последнее тождество означает, что функция (7) является в области D решением уравнения (1).
Таким образом, при интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных встречаемся с фактом, уже отмеченным в § 1; решение такого рода дифференциальных уравнений может содержать произвольные функции, тогда как решения обыкновенных дифференциальных уравнений содержат лишь произвольные постоянные.
