Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 230

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 224 225 226 227 228 229 < 230 > 231 232 233 234 235 236 .. 283 >> Следующая

^2(0)) = ф(С0) = мо = const, (24)
то задача (17) и (20) имеет решение только тогда, когда u = (p(t) = u0. Поэтому
решением задачи (17) и (20) будет любая функция и(х, у) = Ф(у/(х, у)),
удовлетворяющая условию (24), где и0 задается произвольно. Следовательно,
в случае, когда кривая x = tp1(t), y = <p2(t) является интегральной кривой уравнения (21), задача (17) и (20) имеет бесконечное множество решений.
Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения в частных производных
и(х, у) =
содержащее кривую :
a) x = 2t,y = t,u = t,teR\ б)x = t,y = t,u = t2,teR\
в) x = t, y = t, и = 2 , t е R .
Решение. Составим соответствующее дифференциальному уравнению в частных производных (25) уравнение характеристик
— = ^. (26)
У х
Разделяя переменные и интегрируя, найдем общий интеграл
у/(х, у) = х2 — у2 = С.
а) Составим равенство (23): y/((px(t), <p2(t)) = 4t2-t2 = у/. Отсюда t = ±д/^/ 3 . Тогда соответствующее решение задачи Коши имеет вид
rV(*2 -у2)/3 при t > О ,
~^(х2 -у2) /3 при t< 0.
б) В этом случае кривая x = t, y = t является интегральной кривой уравнения (26). В силу условия (24) задача Коши не имеет решения, так как u = <p(t) = t2 не является постоянной.
в) Кривая х = t, y = t также является интегральной кривой уравнения
(26). Здесь условие (24) выполнено, поэтому задача Коши имеет решение в виде функции
и(х, у) = Ф(х2-у2), Ф(0) = 2,
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
3. Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных
производных
Рассмотрим уравнение в частных производных
1 / \ ды . . ч ди , , ч ди тч
Ъх{х, и)-— + Ь2(х, и)-—+ ... +Ь„(х, и)-— = /(х, и), (27)
дх2 дхп
где Ьх(х, и), Ь2(х, и),, Ьп(х, и), f (х, и) - заданные в области G
пространства Rn+l переменных хх, х2,..., хп,и непрерывно
дифференцируемые функции от своих аргументов, причем Ь2 + ъ\+...+ь1 > 0
в области G.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (1) является частным случаем уравнения (27), так как в случае уравнения (1) правая часть
f{x,u) = 0 и коэффициенты bx,b2,...,bn при производных не зависят от
искомой функции и(х) .
Решение уравнения (27), оказывается, сводится к решению линейного
однородного дифференциального уравнения вида (1). Для этого решение и(х) уравнения (27) будем искать в неявном виде на основании равенства
и(х, и) = о(Xp х2, ..., хп, и) = 0 (28)
относительно неизвестной функции и(х, и). Из равенства (28) найдем частные производные
ди ди / ди . -—
----=-------/ — , к = 1, п ,
дхк дхк / ди
и подставим в исходное уравнение (27). Тогда получим линейное однородное
уравнение относительно и:
ди ди до ,ди
Ъ.------1-Ь-.---ь ... +b-----ь f — — 0. (29)
о Х[ о х2 о хп ди
Тем самым приходим к следующему утверждению.
Теорема 4. Пусть уравнение (28), где функция и(х, и) является
решением дифференциального уравнения в частных производных (29) и
ди
— Ф 0, определяет в области D переменных xv х2, ..., хп
ди
дифференцируемую функцию и{х)~ц/ (хр х2,..., хп). Тогда функция и(х) = 1//(х}, х2,..., хп) является в области D решением дифференциального уравнения (27).
Действительно, поскольку и(х, и) является решением уравнения (29), то она имеет непрерывные частные производные по переменным х1; х2,..., хп, и . По условию теоремы до / ди Ф 0. Тогда по теореме о неявной функции (см. гл. 1, § 17, п. 1) существуют непрерывные частные производные дц/ / дхк , к = \,п,\л при подстановке в уравнение (27) на основании уравнения
(29) получим тождество.
Доказанная теорема 4 и результаты п. 1 приводят к следующему правилу построения решения уравнения (27). Выпишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую линейному однородному дифференциальному уравнению (29):
dx, dx7 dx du
—L = —-=... =—n- = — , (30)
h b2 bn f
которая называется системой уравнений характеристик, а ее интегральные кривые - характеристиками уравнения (27). В силу условий, наложенных на коэффициенты системы (27), она имеет п независимых первых интегралов :
х2, ..., хп, и) = Сх,
1//2(хх, х2, ..., хп, и) = С2,
Предыдущая << 1 .. 224 225 226 227 228 229 < 230 > 231 232 233 234 235 236 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed