Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теперь докажем, что формула (7), где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, дает общее решение дифференциального уравнения в частных производных (1) в том смысле, что любое частное решение дифференциального уравнения (1) содержится в формуле (7). Пусть у/(х{,х2,... ,хп) - любое частное решение уравнения (1) в области D. Тогда
- +ьм)— = 0.
дхх
дх.
(8)
По условию функции у/х{х),у/2(х),... ,у/пЧ(х) также являются в области D решениями уравнения (1), поэтому
bl(x)-!--L + b2(x)—!-L+ ... +bn(x)——sO, k = \, n-\.
dxx
dx.
dx.
(9)
Система уравнений (8) и (9) относительно коэффициентов bx(x), Ь2(х)...........
Ьп(х) линейна и однородна; она допускает не равные нулю решения, и, следовательно, определитель этой системы тождественно равен нулю. Этот определитель есть якобиан от функций у/, у/х, у/2,..., i//n_r Таким образом, в области D
ду/
J(y/,y/ 1,у/2,...,у/п) =
ду/ дхх дх2
ду/, ду/,
дх, Эх,
дУп-1 дУп-дх, дх,
ду/ дхп дуyj_ дхп
дуп-1
дх.
= 0.
(10)
Отсюда в силу теоремы о якобианах (см. §17, п.1, гл.1) следует, что между функциями у/, у/,, у/2,..., у/п_х существует функциональная зависимость, т.е. существует функция F от п переменных такая, что при всех х = (хх,х2,... ,xn)eD выполняется равенство
F{у/ О), у/,(х), у/2О), ...,у/пО)) = 0. (11)
Поскольку система первых интегралов (6) системы (3) независима в области D, то в функциональном определителе, стоящем в левой части равенства (10), хотя бы один из миноров первой строки не равен тождественно нулю. Действительно,
если задать для системы (3) начальные данные: % = х[0), х2 = х20), ..., хп = х^0) и Ьп(х}0),х20),..., х^)*0, переменная хп принята за независимую,
то в окрестности точки х0 = (х10),;40),..., xj;0)) на основании теоремы о
существовании и единственности решения задачи Коши для системы (3) существуют независимые интегралы
у/к(хх,х2,...,xn) = xf\ к = 1, п-1,
системы (3), причем
D(XVX2,
Отсюда на основании теоремы о неявных функциях (см. §17, п.1, гл.1) следует, что равенство (11) однозначно разрешимо относительно функции
у/(х1,х2, ... ,хп) = Ф(у/х, у/2,..., у/п_х) в окрестности точки х0. Итак, доказана
следующая
Теорема 3. Если в области D 1//](х],х2,... ,хп) = С,, 1//2(х1,х2,... ,хп) = С2, ..., у/п_х(хх,х2,... ,хп) = Сп_х есть система
независимых первых интегралов системы (3), то формула и (х) = Ф[^(х), у/2(х),..., ^лЧ(х)],
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, определяет общее решение дифференциального уравнения в частных производных (1).
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных
9м ди
у------х— = 0. (12)
дх о у
Решение. Составим соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в этом случае она состоит из одного уравнения)
dx _ dy
У ~х'
Разделяя здесь переменные и интегрируя, получим общий интеграл
х2 +у2 = Сг Тогда общее решение уравнения (12) задается формулой
и(х, у) = Ф(х2+у2),
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция одной переменной.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения в
частных производных (5).
Решение. В этом случае (см. пример 1) система уравнений характеристик имеет следующие независимые первые интегралы :
y/x(x,y,z) = xz = Cx, y/2(x,y,z) = Xyfy = C2.
Тогда по теореме 3 общее решение уравнения (5) задается формулой
и(х,у,г) = Ф(хг, xjy),
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция от двух переменных.
2. Задача Коши. Для дифференциального уравнения (1) поставим следующую задачу, которую называют задачей Коши: найти решение
и(хх,х2,... ,хп) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее условию
м(Х[, х2,..., хл) (0) — (р(хх, х2,..., хп_х) ,
(13)
ДО)
где хк~' - заданное число, <р(хх, х2,..., хлЧ) - заданная по крайней мере непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов.
Пусть функция (р(х') = <р(хх, х2,..., хп_х) определена в окрестности
точки х0 = (х[ \х\ \ ..., х1_\), причем точка х0 = (х', х[}) = (х[ \х\ \ ..., х(п ’)
области D такая, что Ьп(х0) = Ьп(х{0) ,х^, •••, хл0)) * 0. Тогда для
системы (3) существует система (6) независимых интегралов. Рассмотрим систему уравнений :
