Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
У
§ 3. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач
Рассмотрим натянутую вдоль оси Ох струну длины I, закрепленную на концах. Пусть к концам струны приложены вдоль оси Ох силы натяжения Т0,
равные по величине, но противоположные по направлению. Под струной понимается тонкая, упругая, гибкая нить. Тонкая - это значит, мы отвлекаемся от двух физических измерений струны, которые считаются бесконечно малыми по сравнению с длиной струны. Гибкая - это значит, что струна не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы, не связанному с изменением ее длины. Математически это будет означать, что силы натяжения Т (х),
возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю.
Если теперь выведем струну из положения равновесия и подвергнем воздействию внешней силы, то струна начнет колебаться, при этом точка струны, занимавшая при равновесии положение N(x) к моменту времени t займет положение М (рис.1).
Для вывода уравнения колебаний струны, сделаем ряд предположений, относительно рассматриваемых колебаний: 1)колебания являются
поперечными, т.е. все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох только в одной плоскости ; 2) колебания малы ; 3) сила тяжести струны не учитывается.
Поскольку струна колеблется в одной плоскости, то закон ее колебаний, т.е. смещение NM, задается одной функцией двух переменных u = u(x,t), где и - отклонение NM точки N с абсциссой х от положения равновесия до точки М в момент времени t.
Если колебания малы, то это значит, что функция и(х, t) мала и при
достаточной гладкости струны их (х, t) - тангенс угла наклона касательной к струне в точке х в момент времени t тоже мал. Предположим, что колебания
настолько малы, что можно пренебречь квадратом их (х, t), т.е.
' N *5
ди (х, t)
дх
«1.
Отсюда следует, что длина струны при малых колебаниях остается неизменной. В самом деле, длина дуги МК в момент времени t определяется по формуле (см. гл. 1, § 12, теорему 2 )
х+Дх
^мк ~ J д/l + us (s, t) ds — Ax.
Поскольку не происходит удлинение участков струны в процессе малых колебаний, то по закону Гука величина натяжения Т не зависит ни от времени, ни от х и во всех точках одно и то же, и равно Т0.
Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для этого выделим малый участок струны МК и спроектируем все действующие силы на этот участок на оси координат. Согласно принципу Даламбера сумма проекций всех сил, включающая силы инерции в момент времени t, должна равняться нулю.
Сумма проекций сил натяжений на горизонтальную ось равна F =-Т(х) cos«(x) + r(x +Ах) cos«(x + Ax) =
так как
= —Т0 cosа(х) + Т0 cos«(x +Ах) = О,
1 1
cos«(x)
1.
д/l + tg2 а(х) д/l + и2(х, t)
Сила тяжести струны не учитывается, так как полагается, что сила натяжения Г0 настолько значительна, что можно пренебречь действием силы тяжести.
Рассмотрим проекцию сил натяжения на вертикальную ось :
F =~Т0 sin«(x) + ro sin«(x + Ax) =
= Т
г»
tg а (х + А х)
tga(x)
= Г
д/l + tg2 а(х + Ах) д/l + tg2 а(х) ux(x + Ax,t) ux(x,t)
= Tq[ux (х +Ах, t)-ux (х, 0] •
л/1 + м2(х + Ах, t) yjl + и2х (х, t)
Отсюда на основании теоремы Лагранжа (см. гл. 1, § 7) имеем Feep =Тоихх(х>’ 0 А*> х'е(х, х + Ах).
Поскольку рассматриваем поперечные вынужденные колебания, то силы инерции и внешние силы направлены параллельно оси Ои. Найдем их проекции на ось Ои . Пусть р(х, t)- непрерывная внешняя сила, рассчитанная на единицу длины. Тогда ее проекция на ось Ои приближенно равна
Fmeui=p(x, t) Ax.
Пусть p{x) - непрерывная линейная плотность струны, тогда масса
участка струны МК приближенно равна
т = р(х) Ах .
Сила инерции по закону Ньютона определяется
Fm -та = р(х) Ах utt(x", t), х" е [х, х + Ах].
Тогда проекция всех сил на ось О и равна
Г0 mxv (х', t) Ах — р(х) и„(х”, t) Ах + р{х, t) Ах = 0.
Сократив на Ах^О последнее равенство и перейдя к пределу при Ах—>0, получим уравнение вынужденных колебаний струны
