Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
абсолютно и равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций
+оо
g(x) = 'Zci<pi(x). (54)
/=1
Подставим соотношение (54) в равенство (53);
+00
<p(x) = f(x) + A'?ci<pi(x).
i=i
Остается теперь только определить сг Для этого равенство (53) поставим в интегральное уравнение (52):
+00 Ь +00 Ь
f(x) + Л YJci (рХх)~ f (х) + A\K{x,t)f (t)dt + •
i=l а а
Заменяя здесь
имеем
]K(x,t)Vl(t)dt = &^-,
а Л;
i=l
1-
л_
А:
{Pi(x) = \K(x,t)(p(t)dt.
Применяя повторно теорему Гильберта - Шмидта к правой части последнего равенства
Ь +00 {
jK(x,t)q)(t)dt = ^~г^(х), ),
а 1 = 1 А:
получим
i—\
л-л л
Л-
А
(р.(х) = 0.
(55)
Поскольку ряд (55) сходится равномерно к нулю и функции (р{(х) образуют
ортонормированную систему, то все коэффициенты ряда должны быть нулями. Отсюда имеем
f,
А; -А
Таким образом, искомое решение уравнение (52) определяется по формуле
+Q0 f
ср{х) = f(x) - A (х) -
/=1 А- — Л
(56)
где fi = (f,<Pi), Аф At при любом i.
Заметим, что формула (56) получена при условии, что А не является характеристическим числом уравнения (52). Пусть А равно характеристическому числу А', которому соответствует конечное число собственных функций P„+i(4p„+2(4'--. Тогда
А' = Ап+1 = Ап+2 = ¦¦¦А . В этом случае тождество (55), вообще говоря, не
будет иметь места, так как коэффициенты при <pn+l(x), <рп+2(х),'--, <Рп+ч(х)
сводятся к величинам, не зависящим от с(.:
f 1 *
-r = -—jf(x) <Pi(x)dx, i = n +1, •••, n + q ,
А; Л я
(57)
которые в общем случае не равны нулю. Отсюда вытекает, что необходимое и достаточное условие для разрешимости неоднородного уравнения (52) заключается в равенстве нулю всех выражений (57), т.е. в выполнении равенств:
fi = \fi.x)^Pi{x)dx = 0, i = n + 1, « + 2, •••,« + q . (58)
a
При условии равенств (58) можно выбрать cn+l, сп+2, ¦¦¦,cn+q произвольными
постоянными, другие же с. определить, как и прежде, тогда решение определяется по формуле
( п +со ^ f. ч
<p(x) = f(x)-A' Х+ Е ^-7^(л) + Есп+^п+Дх). (59)
^/=1 i=n+q+1J Aj А, к=1
Итак, условие необходимое и достаточное для разрешимости
неоднородного уравнения (52) в случае, когда А равно характеристическому числу А', является условие ортогональности свободного члена /(х) ко всем
собственным функциям, соответствующим характеристическому числу А'.
Пример 1. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения
1
<р(х)-A$K(x,t)<p(t)dt = 0, (60)
о
где
Г*(1-0 , 0<x<t,
K(x,t) = \ (61)
[t(l-x),t<x<l.
Решение. Видно, что K(t,x) = K(x,t) . Перепишем уравнение (60) в виде
X 1
<р(х) = Aft(1-х)<p(t)dt + А|х(1 -1)<p(t)dt. (62)
0 х
Отсюда видно, что <р(0) = <р(Х) = 0. Дифференцируя два раза обе части уравнения (62), найдем
(р\х) + А<р(х) = 0. (63)
Итак, наша задача сведена к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (63) с граничными условиями
<р(0) = <р(1) = 0. (64)
Общее решение уравнения (63) при А < 0 имеет вид
<р(х) = схе^х + с2е"^х, где с, и с2 - произвольные постоянные, а при А = 0
<р(х) = Cj +с2х.
Удовлетворяя эти решения граничным условиям (64), получим <р(х) = 0.
Ненулевые решения краевой задачи (63) и (64) существуют только при А = (пя)2, neJV и имеют вид
<р„(х) = sin лях . (65)
