Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Подставляя в ряд (42) его коэффициенты /„ и заменяя / (х) в левой части (42) ее выражением (41), получим
МОЛ- fiaw. ,47,
а *=1 Яд,
Умножая обе части (47) на функцию h (х) и интегрируя по х от а и до b, найдем формулу (46). Отметим, что почленное интегрирование в правой части (47) законно, ибо ряд (42) сходится равномерно на промежутке [а, Ь~\.
Следствие 2. Билинейный ряд (32) при п = 2 сходится абсолютно и равномерно на квадрате D к повторному ядру К2(х, t).
Доказательство. Итерованное ядро
ь
К2(х, t) = \К(х, s)K(s, t)ds
a
при фиксированном t есть функция относительно х, представимая ядром К(х, t), поэтому по теореме Гильберта - Шмидта она может быть разложена в абсолютно и равномерно относительно х сходящийся ряд по собственным функциям ядра К(х, t) :
ь
+м \K{s,t)(pk{s)ds К2{х, 0 = Е ---------------<рк(х).
k=i Як
Отсюда на основании равенства
ъ
\K(s,t)<pk(s)ds=\K{t,s)(pk(s)ds = C^P-
имеем
КЛХ'1) = 1ЩMl. ,48,
t=1 лк
Полученный ряд (48) сходится равномерно относительно х при фиксированном t, а в силу симметрии и относительно t при фиксированном х. Можно доказать,
что ряд (48) сходится абсолютно и равномерно относительно любых (х, t) из
D. Действительно, в силу оценки
I (рк (х) (рк (0 \ ^ | [ <Рк (х) + <р1 (0 ]
вопрос сводится к доказательству равномерной сходимости ряда
ъЩг-- И9>
к=1 Ак
Этот ряд в силу (48) сходится к непрерывной функции К2(х,х) и состоит из непрерывных положительных членов. Тогда на основании признака Дини (см.
502
гл.1, §11, п.2) функциональный ряд (49) сходится равномерно на [а,Ь] к функции К2(х, х). Тем самым наше утверждение доказано.
Пусть Ch = {h(x) е С[а, b\ \ (h, К) = || h || 2 = 1} . Это назовем множеством
нормированных функций.
Следствие 3 (экстремальное свойство характеристических чисел и
собственных функций). На множестве нормированных функций Ch величина | (Kh, h) | имеет максимум, равный ——. Этот максимум достигается при
I А I
h (х) = <рх (х), где Лх имеет наименьшую абсолютную величину среди характеристических чисел ядра K(x,t), (рх (х) - соответствующая
характеристическому числу собственная функция этого ядра.
Доказательство. Полагая в формуле Гильберта (46) h(x) = h(x), получим
(Kh,h)=\[b\K{xJ)h(t)d?\h(x)dx=+fjJ^-. (50)
я V а У *=1 \
Пусть, как обычно, характеристические числа Лк расположены в порядке возрастания их абсолютных величин, поэтому наименьшую абсолютную величину имеет число . Тогда из формулы (50) следует
| (АГА, А) | <
I ^1 I к=]
или на основании неравенства Бесселя
\(Kh,h)\< ||*||!/|Я,|.
Для нормированных функций h(x) последнее неравенство принимает вид
\{ККк)\<1/\Ях\. (51)
В неравенстве (51) знак равенства достигается при h(x) = <рх(х). В самом деле, поскольку срх{х) - собственная функция, соответствующая характеристическому числу Лх, то <рх(х) = Лх Ксрх. Умножая это на срх{х) и интегрируя по х от а до
b, получим
А, (К(рх,<р1) = ((рх,<р1) = \\(рх\\2 = 1.
Отсюда следует, что | (К<рх, фх) \ = \jЛх . Что и требовалось доказать.
Определение 4. Ядро К(х, t) называется положительно
определенным, если для любой функции h(x)eC[a,b] справедливо неравенство (Kh, К) > 0.
Следствие 4. Для того чтобы симметрическое ядро было положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы все его характеристические числа были положительными.
Доказательство. Действительно, если все характеристические числа Лк > 0, то в силу формулы (50) (Kh, h)> 0 для любой функции h(x) е С[а, Ъ]. Следовательно, ядро К(х, t) положительно определенное. Обратно, пусть ядро К(х, t) положительно определенное. Тогда для него справедлива формула (50) при любой функции h(x) из класса С[я, Ь]. Приняв в этой формуле h(x) = <рт(х), получим
(¦К<Рт> (Рт)=\' II <Рт 1|2=7->0-
Лт Ат
Отсюда Лт > 0 ив силу произвольности т из множества натуральных чисел получаем, что все характеристические числа положительны.
Определение 5. Ядро К(х, t) называется строго положительно определенным, если для любой непрерывной на [ a, b~\ и не равной тождественно нулю функции h (х) выполняется неравенство
