Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ядро K(x,t) имеет бесконечный спектр характеристических чисел
(13) и соответствующую бесконечную ортонормированную систему собственных функций (14). Рассматривая ядро K(x,t) как функцию переменной t при фиксированных х, вычислим его коэффициенты Фурье относительно системы
(25)
(25).
ск = \К(х, t)(pk{t)dt, k = 1,2,....
а
С другой стороны, в силу определения собственной функции cpk(t) имеем
ь
<Pk{*) = \ \К(Х> t)q>k(t)dt.
а
Тогда из этих равенств найдем коэффициенты
<Рк(.х)
ck =¦
К
и составим соответствующий ряд Фурье
к = 1 к = 1 Лк
Соотношение (26) называется билинейным разложением ядра K(x,t) по его собственным функциям.
В случае произвольного симметрического ядра его ряд Фурье (26) не всегда будет сходящимся. Однако если ядро K(x,t)eC(D) и его характеристические числа положительны, то билинейный ряд (26) сходится равномерно на квадрате D к самому ядру K(x,t). Эт.е. так называемая теорема Мерсера, которую докажем ниже.
Лемма 7. Если ядро K(x,t) непрерывно на квадрате D и ряд (26) сходится равномерно на D, то его сумма равна ядру, т. е.
К(Х',) = ?ШМ1. (27)
*=1 лк
Доказательство. Составим разность
в(*о=*<*«)-1йЦаЮ. (28)
к=1 Лк
которая непрерывна на квадрате D и симметрична. Фиксируя х и рассматривая 0)(х, t) как функцию от t, найдем ее коэффициенты Фурье относительно системы функций {срп (/)}: ь ь
Jfi) (х, t)<pn(t)dt = \К(х, t){pn(t)dt-
a a
= = о,
к = 1 Ак a Ап Ап
т.е. все коэффициенты равны нулю
ь
jo)(x,t)<pn(t)dt = 0, п = 1,2,.... (29)
a
Следовательно, ряд Фурье функции со(х, t) сходится к нулю на квадрате
D. Нам остается доказать, что co(x,t)s 0 на D. Допустим это не так. Рассмотрим интегральное уравнение с ядром a>(x,t) :
ь
у/(х) = Л\а>(х, t)y/{t)dt. (30)
а
В силу леммы 4 уравнение (30) имеет по крайней мере одно характеристическое число Я0, которому соответствует хотя бы одна собственная функция у/{) (х) , не равная тождественно нулю:
ь
у/0(х) = Л0 \co(x,t)y/Q(t)dt.
а
Покажем, что функция у/0(х) ортогональна ко всем собственным функциям <pk(t) ядра K(x,t). Действительно, умножая обе части равенства (29) на Я0 ц/0(х) и интегрируя по х в пределах от а до b , получим
ь ( ь \
Я0 J \a>{x,t)(pn{t)dt y/Q{x)dx = 0.
Л« J
Отсюда, переставляя пределы интегрирования с учетом (30) и симметрии со(х, t), имеем
ь
jVo(0<P,,(0<* = 0, п= 1,2,.... (31)
а
Теперь на основании (28) уравнение (30) перепишем в виде
ь
(0 = к J
К(х,
t=1 Ak
у/0 (t)dt
Поскольку билинейный ряд (26) сходится равномерно на квадрате D, то из последнего равенства на основании (31) получим
ь
foW = ^o \К(х, t)if/0(t)dt,
а
т.е. функция i//Q(x) есть собственная функция первоначального ядра K(x,t) . В силу (31) функция у/0(х) Должна быть линейной комбинацией собственных функций q>k(x), соответствующих характеристическому числу Я0. Но этого не
может быть, так как функции y/Q(x) и все (рк(х) образуют ортогональную систему, а ортогональные функции не могут быть линейно зависимы. Это противоречие показывает, что допущение со{х, t) не есть тождественный нуль -неверно, и поэтому справедливо равенство (27) при всех (х, t)sD .
В § 6 (см. теорему 6) было показано, что если Л,, Л2............. Лк, ... -
характеристические числа ядра K(x,t), то итерированное ядро Kn(x,t) будет иметь характеристические числа :
494
ЯП пп о л
1 ' 2 ’ ' ‘ ‘ > А: 1 ¦ “
и никаких других. При этом все собственные функции ядра K(x,t) остаются собственными функциями ядра Kn(x,t) . Остался открытым вопрос, не будет ли итерированное ядро Kn(x,t) иметь другие собственные функции, линейно
