Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
fl(x)=)№-dt (4)
а t-x
существует для всех х е (а, Ь).
Доказательство. Для этого интеграл (4) представим в виде
Ux),)mzmdt+nx)]JL.
t-X ax-t
В силу условия Гельдера в первом интеграле подынтегральная функция имеет интегрируемую особенность
т-кх)
к
<—
t — x
поэтому он существует. Второй интеграл существует в силу равенства (3).
Понятие главного значения интеграла переносится на криволинейные или контурные интегралы. Пусть L - гладкая (замкнутая или незамкнутая) кривая и с - комплексная координата точки М на L . Вырежем точку с кружком радиуса Е с центром в этой точке. Оставшуюся часть контура обозначим через ЬЕ. Допустим, что функция комплексной переменной /(z) интегрируема по ЬЕ при
любом е>0 и неограничена по модулю при z-»c. Главным значением интеграла или сингулярным интегралом функции /(z) по контуру L называют конечный предел
lim \f{z)dz
Б->0
и обозначают символом
v-p.\f(z)dz или \f{z)dz.
L L
Точно также вводится условие Гельдера на кривой L. Будем говорить, что функция f(z) е На (L) , если существует постоянная К > 0 такая, что для всех Zj и z2 из L выполняется неравенство
l/0i)-/02)| <K-\z, -z21“.
Справедлива теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Если /(z) е На (L), то сингулярный интеграл
1^-dT (5)
L T-Z
существует для всех точек z кривой L, кроме, может быть, ее концов.
Относительно функции (4) справедливо следующее утверждение, доказанное Приваловым И.И.
Теорема 3. Если f(x)eHa[a,b], 0<а<1, то функция
fl{x)e.Ha[al,bl'\, [а15 6J с [а, 6]; если f(x)eH1[a, Ь], то
/х{х)еНр[ах, by], Р< 1.
Аналогичное утверждение верно и для интегралов (5).
Важную роль, которую играет понятие сингулярного интеграла, основана на следующей теореме Ю.В. Сохоцкого о предельных значениях из теории функций комплексной переменной.
Теорема 4. Пусть L - гладкий контур и /(г)е Ha (L). Если точка z
стремится изнутри или соответственно извне контура L к точке t этого контура, то интеграл типа Коши
ры-А-1 (6,
2л1 L Т -z
стремится к пределу
(7>
2 2л i i r-t
соответственно
гм=~т+±1&&: т
2 Ini i r-t
где в формулах (7) и (8) интеграл понимается в смысле главного значения’К Отметим, что здесь замкнутый контур L обходится в положительном направлении, т.е: при обходе вдоль L область, им ограниченная, остается слева. Индекс i в формуле (7) означает, что z —>t изнутри области, а индекс е в формуле (8) предполагает, что z—>t извне. При стремлении z к t кривая, описываемая точкой z, не касается контура L. В противном случае, утверждение, вообще говоря, неверно. Если L - незамкнутый контур, то дополняют L гладкой дугой до замкнутого.
Пусть
1 jrfr)* 1 jfiW*
2Л1 L T—t 27TI I T-t
где L - замкнутый контур. Из отмеченной выше теоремы 3 следует, что если fo(r)eHa(L), 0<а<1, то <рг(0, (p2(t) е Ha(L). Теперь найдем, как
выражается (p2(t) через <p(t). Рассмотрим интегралы типа Коши
/( 1 <Кг)^ 1 jjw*
2лг L т — z 2л 1 L t-z
В силу теоремы 4 на основании формулы (7) найдем
1^.
2 2лi L T — t 2 2лi i t-z
Отсюда, пользуясь определением функций (px(t) и <p2(t), имеем
(Pi (0 = /,(0~|р(0. (р2 (0 = А (0- (0- (9)
Значение (px{t) из (9) подставим в интеграл fx(z) \
^ Формулы (7) и (8) впервые получены Сохоцким Ю.В. (1873 г.), затем Племелем И. (1908 г.) и, наконец, в более общих предположениях Приваловым И И. (1918 г.).
/iOO = — j
1 ?(p{t)dt Ani L t-z
(Ю)
2 nii t-z
Первый интеграл из правой части (10) является интегралом Коши, так как его плотность ft(r) есть предельное значение функции f(z), аналитической внутри контура L, поэтому он равен /(z). Второй интеграл в (10) равен
— f(z). Следовательно, из равенства (10) имеем
Тогда из равенств (9) следует
Итак, установлена формула Пуанкаре-Бертрана сингулярных интегралов
1 j dt
jS<QK = l
(2ni) Lr-t L С -г 4
композиции
(11)
Отметим, что в двойном сингулярном интеграле нельзя менять порядок интегрирования. Например, если изменим порядок интегрирования в левой части (11), то получим интеграл, равный нулю :
