Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 216

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 210 211 212 213 214 215 < 216 > 217 218 219 220 221 222 .. 283 >> Следующая

а
Равенство (5) представляет собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Из результатов § 11 гл. 3 следует, что любое нетривиальное решение краевой задачи (1) и (3) удовлетворяет
интегральному уравнению (5) и, наоборот, если является решением
интегрального уравнения (5), то из теоремы 2 § 11 гл. 3 следует, что ,у(Х) является решением краевой задачи (1) и (3). Следовательно, имеет место эквивалентность задачи Штурма - Лиувилля и уравнения (5). Отсюда вытекает, что краевая задача (1) и (3) и уравнение (5) имеют одни и те же собственные
значения Лк, а собственные функции связаны равенством (рк(х) = ^jr(x) ук(jc). В силу симметрии функции Грина G(x,t), ядро уравнения (5), равное r(t)G(x,t), будет симметрическим при r(x) = const и несимметрическим в противном случае. Однако интегральное уравнение (5) всегда можно преобразовать к уравнению с симметрическим ядром. Для этого обе части
уравнения (5) умножим на ^r(x) и введем обозначения
<P{x) = ^r(x)y(x), К(х, t) =^r(x)r(t) G(x, t). (6)
Тогда получим интегральное уравнение
ь
(р(х)-Л \К(х, t)<p(t)dt = 0 (7)
а
уже с симметрическим непрерывным ядром (6).
Лемма 1. Ядро интегрального уравнения (7) является замкнутым и строго положительно определенным.
Доказательство. Пусть для любой непрерывной на [а, 6] функции со(х) справедливо равенство
ь
\К(х, t)a>(t)dt = 0, a<x<b. (8)
a
Покажем, что со(х) = 0 на [а, 6]. Рассмотрим функцию
ь ----
z(x) = \G(x, t)yjr(t) co(t) dt,
a
которая является решением дифференциального уравнения
L(z) = -^Jr(x) со(х). (9)
В силу равенства (8)
,---- ь
л]г(х) z(x) - jК(х, t)a>(t)dt = 0 .
Отсюда вытекает, что z(x) = О на [а, b], следовательно, L(z) = 0 . Тогда из (9) получим, что (y(x)sO на [а, Ь]. Далее на основании следствия 5 §7 ядро интегрального уравнения (7) является также строго положительно определенным.
Таким образом, задача Штурма - Лиувилля эквивалентна интегральному уравнению (7) с непрерывным, симметрическим, замкнутым и строго положительно определенным ядром.
Поэтому из свойств решений интегральных уравнений с симметрическим ядром (см. §7) вытекают все свойства собственных значений и соответствующих собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.
1°. Задача Штурма - Лиувилля имеет бесконечное (счетное) множество
положительных собственных значений {Лк} и соответствующую им
систему собственных функций {уk (jc)}.
Действительно, существование собственных значений вытекает из леммы 4 §7. Поскольку ядро K(x,t) является замкнутым и положительно определенным, то в силу следствия 4 § 7 оно имеет бесконечное (счетное) множество положительных собственных значений (характеристических чисел) {Лк }:
О <Л, <Л2 < ... <Лк < ... .
2°. Каждому собственному значению задачи (1) и (3) соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция, т.е. ранг собственных значений задачи (1) и (3) равен единице.
Доказательство. Предположим, что одному собственному значению соответствуют две линейно независимые на [a,b\ собственные функции и у2(х) (более двух не может быть, так как порядок дифференциального уравнения (1) равен двум). На основании граничных условий (3) имеем W (a) = W[yx (а), у2 (а)] = Уг (а) у2 (а) - у[ (а) у2(а) = 0 , что противоречит линейной независимости функций ^,(x) и у2(х) на сегменте [а,Ъ].
3°. Собственные функции yk (jc) образуют на [а, Ь] ортогональную систему с весом г(х):
* Г 0, к Ф п,
\r(x)yk(x)yn(x)dx = \ (10)
[1, к = п.
В самом деле, собственные функции (рк(х) интегрального уравнения (7) в
силу леммы 1 § 7 ортогональны между собой
ь
\(pk{x)(pn(x)dx = 0, кФп.
a
Подставив сюда вместо <рк(х) их значения <рк(х) = -yJr(x) ук(х) , получим (10).
4° (теорема В.А. Стеклова1 о разложении по собственным функциям).
Если функция g(x) е С2 [а, Ь] и удовлетворяет однородным граничным условиям (3), то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [a, b] ряд по собственным функциям {ук{х)} краевой задачи (1) и (3) :
= (11)
k=1
где коэффициенты ряда определяются по формулам
ь
gk = ig(x)yk(x)r(x)dx.
a
Предыдущая << 1 .. 210 211 212 213 214 215 < 216 > 217 218 219 220 221 222 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed