Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Функции (65) являются собственными функциями интегрального уравнения (60), соответствующим характеристическим числам Ап =(пя)2 этого уравнения. Как
508
ортогональна на сегменте [0,1]- Эту систему можно сделать ортонормированной. Для этого вычислим
2 1 \
И =(&.&)= Jsin 2пяхйх = ~.
о ^
Таким образом, ортонормированная система собственных функций интегрального уравнения (60) имеет вид
&ЛХ)
{<Рп(х)} =
= {-Jlsinnxx}, (66)
рлщ
а последовательность характеристических чисел определяется по формуле
Яп = (птг)2, пе N.
Пример 2. Постройте решение интегрального уравнения
1
<р(х)~ AfK(x,t)<p(t)dt = f(x), (67)
о
где ядро K(x,t) определяется по формуле (61), f (х) - заданная
непрерывная на [0,1] функция.
Решение. Для построения решения интегрального уравнения (67) воспользуемся п.З, так как в примере 1 найдены все характеристические числа и построена соответствующая ортонормированная система собственных функций
(66) ядра (61). При Аф Ат=(тя)2 ,meN, единственное непрерывное на [0,1] решение уравнения (67) найдем по формуле (56):
+<»
<p(x)=f(x)-A—-f—-sin пях,
п=1 \П 7t) —А
где
/„ = л/2 \f(x)smnnxdx.
О
При Л = Лт = (тя)2 для разрешимости уравнения (67) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ортогональности функции f(x) собственных функций (66): fm = (/,$ттях) = 0 . Тогда решение строится по формуле (59)
/ \ ft ч 2fк-"1 \/п41ътпях .
<р(х) = f(x)-m 2^+ 2, —5---i— + А8ттях,
2 2 V л=1 п=т+\ J ft ttl
где А - произвольная постоянная.
Отметим, что для интегрального уравнения с симметрическим ядром справедливы все обобщения, которые приведены в п. 6 § 6. Только в случае интегральных уравнений со слабой особенностью
K(xj)= ^-t\a ’ °-a<n’ где Q(x,t) - непрерывная на DxD функция, D - замкнутая измеримая область пространства Rn, п> 1, \x-t\ - расстояние между точками
х = (х1,х2,... ,хп) и t = (tvt2,... ,tn) из D, теорема Гильберта - Шмидта и следствия из нее имеют место при а <п/2 .
§ 8. Краевые задачи на собственные значения (задача Штурма - Лиувилля)
В третьей главе (см. §11) была приведена постановка задачи на собственные значения, которая заключается в следующем. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
L{y) + Xr{x)y{x) = -^-ах
Р(ХУ,
ах
-д(х)у(х) + Лг(х)у(х) = 0, (1)
а <х<Ь,
где коэффициенты р(х), р'(х), r(x), q(x) е С[а, 6] и
р(х)> р0 =const>0, r(x)>r0 =const>0, ^(x)>0, xe[a, b], (2)
Л - числовой параметр при граничных условиях :
aly(a)-PxyXa) = 0, a2y(b) +]32у'(Ь) = 0, (3)
где , Д. - заданные действительные числа, i = 1, 2, при этом af + Д2 > 0 .
Очевидно, при любом Л существует тривиальное (нулевое) решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее однородным краевым условиям (3).
Поставим задачу : найти такие значения параметра Л, при которых дифференциальное уравнение (1) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям (3).
Эти значения Л называются собственными значениями, а соответствующие решения - собственными функциями задачи (1) и (3) или дифференциального оператора L при граничных условиях (3). Задачу отыскания нетривиальных решений однородной краевой задачи (1) и (3) называют задачей Штурма - Лиувилля.
В дальнейшем предположим, что Л = 0 не является собственным значением краевой задачи (1) и (2).
Для доказательства существования собственных значений и соответствующих собственных функций задачи (1) и (3) сведем ее к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с симметрическим ядром. С этой целью перепишем уравнение (1) в виде
L(y) = -Лг(х)у(х) , (4)
которое совпадает по форме с уравнением (17) § 11 гл. 3 с правой частью -f{x) = -Лг(х)у(х). В силу сделанных выше условий относительно
коэффициентов уравнения (4) существует единственная функция Грина G(x,t) задачи (4) и (3). Тогда на основании результатов § 11 гл. 3 решение краевой задачи(4)и (3)определяется по формуле
ь
у(х) = Л \G(x, t)r(t)y(t)dt. (5)
