Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Интегрируя это неравенство по х от а до b с учетом нормированности системы {(рк{х)}, получим
Поскольку последнее неравенство справедливо при любом натуральном р, то
ряд (36) сходится абсолютно при п = 2 , стало быть, и при п> 2.
2. Теорема Гильберта - Шмидта
Определение^ Ортонормированная система функций {(рк(х)} из пространства С [а, Ь] называется замкнутой, если не существует никакой функции из C\a,b\, кроме нуля, которая была бы ортогональной ко всем функциям данной системы. В противном случае система называется незамкнутой.
Незамкнутая ортонормированная система функций {<рк(х)} характеризуется наличием хотя бы одной функции а>(х) е С[а, Ь], не равной тождественно нулю и ортогональной ко всем функциям данной системы
(36)
число т такое, что при всех к> т: \ Лк \ > 1. Тогда | Лк \п > | Лк |2 при и>2 и
(со, срп) = \со(х) срп{х) dx = 0, п = 1, 2,... . (37)
а
Незамкнутую ортонормированную систему функций всегда возможно дополнить, присоединяя ортогональную функцию со(х) ко всем функциям данной системы. Наоборот, замкнутая ортонормированная система функций характеризуется отсутствием такой функции а>(х) из С[а, Ъ], которая была бы ортогональна ко всем функциям этой системы. Это значит, что в случае замкнутой ортонормированной системы из равенства (37) должно следовать со(х) = 0. Поэтому замкнутую ортонормированную систему функций нельзя расширить путем присоединения новых функций. Всякую функцию / (х) е С[а, Ъ] можно однозначно разложить в ряд Фурье по замкнутой
ортонормированной системе функций {срк{х)}. Естественно возникает вопрос,
при каких условиях симметрическое ядро имеет замкнутую ортонормированную систему собственных функций.
Определение 2. Симметрическое ядро K(x,t) называется замкнутым, если не существует никакой функции со(х) из C[a,b], кроме нуля,
удовлетворяющей тождеству
ь
\K(x,t)a>(t)dt = 0. (38)
a
Лемма 13. Пусть K(x,t) - симметрическое ядро и {срп (х)} - полная система его собственных функций. Для того чтобы ядро K(x,t) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его полная система собственных функций {(рп(х)} была замкнутой.
Доказательство. Покажем, что ядро K(x,t) незамкнуто тогда и только тогда, когда его полная система собственных функций {(рп(х)} не замкнута. Отсюда уже будет вытекать справедливость нашего утверждения. Пусть ядро K{x,t) незамкнуто. Тогда существует непрерывная на [а, Ь~\ функция а>(х) , не тождественно равная нулю и удовлетворяющая равенству (38). Рассмотрим скалярное произведение
ь ь (ь \
(<р„,в>)= 1<Рп(х)®(х)Жс = Лп f jK(x,t)(pn(t)dt
а а \ а
f Ъ \
co{x)dx =
= Xn\(Pn( 0 \K(x,t)a>(x)dx
а V a J
dt.
Отсюда в силу (38) получим равенство ((рп,а>) = 0 при всех neN, которое означает незамкнутость системы собственных функций {(рп(х)} .
Пусть система собственных функций {(рп{х)} не замкнута. Тогда существует непрерывная на [а,Ь] функция со{х), не равная тождественно
нулю и ортогональная ко всем функциям данной системы {(р„(х)} :
{<p„,a>)=\<pn{x)a>{x)dx = 0, п = 1,2,... .
В силу леммы 11 ряд (32) сходится равномерно при всех п > 3. На
основании леммы 9 его сумма равна Kn(x,t). Поскольку ряд (32) сходится
равномерно на квадрате D, то его, предварительно умножив на co(x)co(t),
можно почленно интегрировать. Тогда отсюда при п = 4 с учетом равенств (39), получим
Ь Ь +<х> | ь ь
J \К4(х, t)co(x)co(t)dxdt = Z — \(pk(x)o)(x)dx j<pk(t)a>(t)dt = 0.
a a k = l Л, k а а
Заменяя здесь повторное ядро Кл(х, t) его выражением :
ь
К4(х, t) = \Кг(х, s)K2(s, t)ds ,
имеем
ь ь
о-П
\Кг(х, s)K2(s, t)ds
-J
\К2(х, s)co(x)dx
co(x)co(t)dxdt = ь Г ь
<&=J ^K2(s,t)co(t)dt
Отсюда следует, что
JAT2(5, t)co(t)dt = 0.
ds.
(40)
Умножая обе части равенства (40) на &>(s) и интегрируя относительно s, найдем
ь ь
J \K2(s,t)o}(s)o}(t)dsdt = 0.
а а
Снова заменяя здесь K2(s, t) его выражением :
K2(s, 0= |АГ(5, у)К(у, t)dy ,
а
получим
ь ь
°=п
а а
Ь
jK(s,y)co(s)ds
jK(s, у) К (у, t)dy
a>{s)co(t)dsdt =
jK(y,t)a)(t)dt
dy = J
t)co(t)dt
