Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. По условию g(x) - дважды непрерывно дифференцируема. Тогда L(g) = -h(x), где h(x)eC[a,b], и, кроме того, функция g(x) удовлетворяет граничным условиям (3). В таком случае функцию g (х) можно представить по формуле (26) (см. § 11, гл. 3):
ь
g(x) = |G(x, t)h(t)dt.
a
Умножим обе части этого равенства на ^г(х) и в силу (6) имеем
л/r О) g(x) = /АГ(лг, t)-^=Ldt. (12)
лМО
Отношение h{t)j\Jг (t) непрерывно на [а, Ь]. Тогда равенство (12) означает, что функция F(x) = yjr(x) g(x) представима через ядро К(х, t) (см. п.2, § 7). В таком случае на основании теоремы Гильберта - Шмидта функция F(х)
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [а, b] ряд по
собственным функциям {(рк(х)} ядра K(x,t):
F(x) = ^[r(xjg(x) = +ftFkq)k(x), (13)
к=1
где
ъ ь
Fk = \F(x)(pk{x)dx= \g(x)r(x)yk(x)dx = gk.
a a
По условию функция г(дг) непрерывна и строго положительна : г(х)>г0 >0,
поэтому функция 1 jл]г(х) ограничена. Тогда умножив обе части равенства (13)
на 1 /у[г(х), получим требуемый абсолютно и равномерно сходящийся на сегменте [а, b] ряд (11).
1 Стеклов Владимир Андреевич (1864 - 1926) - выдающийся русский математик.
33 — 5026
i'MSMi.Gmo
я.
(14)
k=\ Ak
сходится равномерно на квадрате D = {(x,t)\a<x,t<b), и его сумма равна функции Грина G(x, t) краевой задачи (1) и (3).
Доказательство. По теореме Мерсера (см. § 7) ряд вида
Е =К(х, о = X*)r(0 <?(х, о
t=i
А,
сходится равномерно на квадрате D, и его сумма равна ядру K{x,t) интегрального уравнения (7), так как все характеристические числа (собственные значения) Як ядра являются положительными. Умножая обе части
последнего равенства на ограниченную функцию 1 /y]r(x)r(t) , получим равномерно сходящийся на D ряд (14).
6°. Пусть выполнены условия (2) и Як и ук - собственные значения и соответствующая собственная функция задачи (1) и (3). Тогда если
1) Д = Д, = 0, то
Я. > min
a < х < b
2 Р0 +Я(х)
(b-a) r{x) r{x)
2) ax= a2= 0, mo
Як > min
q(x)
a<x<b
3) а, Д > 0 и a2 /32 > 0, mo
Як > min
q(x)
r(x)
Доказательство. По условию
L(yk) = ^kr(x)yk(x)
и выполнены граничные условия (3). Рассмотрим интеграл
ь ь
\укЬ{ук)(Ьс = -Лк\г(х)у2к{х)(1х.
a a
Отсюда с учетом (10) и явного выражения для L(yk) получим
\=- \ук(х)
dx
(р(х)угк(х))-я(х)ук(х)
dx =
\р(х)У'к {x)dx+\q(х)у2к (.x)dx-[p(х)ук(х)у'к (х)]
• (15)
Если Д=Д2=0, то граничные условия (3) принимают вид
К=\р (*) у к2 (x)dx + \ч (*) (*) ¦
Поскольку ук (а) = 0, то
Ук(х)= jy'k(t) Ж ¦
Согласно неравенству Коши - Буняковского
[\2
)^(0Л < Ji2<fe-jx2(0<fc =
д J а а
х Ъ
= (х-а)^у'к2 dt<(x-a) \y'k2(t)dt.
а а
Интегрируя последнее равенство по х от а до b , будем иметь
jy2 (x)dx< - ----- jy[2 (t)dt.
a ** a
Тогда из равенства (16) с учетом (2), (17) и (10) получим
Як - +iq w ^=
(b-а) а
и
2 Ро _+Я(х)
> mm
а < х < Ь
(b-а)2 г(х) г(х)
2 + Я(Х)
г(х)у1 (x)dx
>
(b — a) г (х) г (х)
jr(x)y2k(x)dx =
= mm
а < х ? b
2 Л> ,+ Я(х)
(17)
(b-а)2 г(х) г(х)
Если ах =а2 =0, то у'(а) = у'(Ь) = 0 . В этом случае из равенства (15)
найдем .
ь
К= \pi.x)y'k {.х)^+ \q(x)y2k(x)dx> \<^-r(x)y2k(x)dx> min -^^>0.
