Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Л Т
(<p(C)dC f-------———= 0.
1 !(т-0(?-т)
Действительно,' при С, Ф t
J•
dt
1
i(>-0(C-0 ?-t
так как из формулы Коши следует, что
1 с dt 1
---- ----= — и
2ni i t-t 2
dt
irh-l
dt
t-t
i T~? dt
= 0,
— j 2ni i t-C,'
2. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
e,w+±j«fi2*-/w.
ni I t — t
(12)
где а, b - постоянные и L - гладкий замкнутый контур. Рассмотрим сингулярный оператор
Ъ еа>(№
Mco = aco(t)-------|
ni L ?-t
(13)
который каждую функцию co(t) из класса Ha{L) переводит в функцию этого же класса. К обеим частям уравнения (12) применим оператор (13). Тогда имеем
. . b r m(T)dt a<P{t) + — j^V 7 — ni , т-t
b ra(p(<Z)d<Z b b
Q-t nimJLQ-tJL т-C,
Отсюда на основании формулы Пуанкаре - Бертрана получим
(я2 -b2)<pit)=M f(t) = af(t)~— \Щ^~.
п I L
Если а2 -Ь2 Ф 0, то
<Р( 0 =
1
а
-т-
№dZ
(14)
''' a1 -b* ni [ ?-t
Теперь покажем, что функция <p(t), определенная формулой (14), действительно является решением уравнения (12). Для этого функцию (14) подставим в левую часть уравнения (12):
1
aM/(0 + — —
яг L ~ *
т — t
1
2 1.2 а -Ъ
/(0_?* IШИ1
ni, т — t
+
+ b_ j a f(t)dt | b (-b) . dr ef(OdC
ni i т — t ni ni i т-t i
Отсюда, пользуясь формулой Пуанкаре - Бертрана, получим правую часть интегрального уравнения (12).
Итак, доказана следующая
Теорема 5. Если f(t)eHa(L) и а2 -Ь2 ф0, то существует единственное решение cp(t) сингулярного интегрального уравнения (12) в
классе функций Ha (L), 0 < а < 1, и это решение определяется формулой
(14).
Если контур L - незамкнутый, то формула Пуанкаре - Бертрана не имеет места, поэтому метод решения сингулярных интегральных уравнений, основанный на формуле (11), оказывается непригодным. В этом случае предлагается метод сведения сингулярного интегрального уравнения к так называемой краевой задаче Римана - Гильберта. Этот метод применим также в случае, когда L - замкнутый контур. (Об этом см. [2, 7]).
3. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта Рассмотрим интегральное уравнение
Ъ (J S
Y(p = aq>(s) + -^— j<p(a)ctg - dcr = f(s), (15)
где а и b - постоянные, 0 < s, а < 2п, здесь интеграл понимается в смысле
СT-S
главного значения, так как функцию ctg------- при а —> s можно представить в
виде
(7 - S
COS jj- / \
g-s 2 H(<J-s)
ctg—— =-----------— = — ---------
2 . cr-s cr-s
sin----
2
причем H(cr-s)* 0 при cr = s.
cr-s
Выражение вида ctg—-— называют ядром Гильберта, а
соответствующее уравнение называют сингулярными интегральным уравнением с ядром Гильберта.
Пусть
1 2п ^ j 2п (J S
(РМ = —\(р(ст)а%—~(1ст, ^0) = — JVi(tj)ctg — dc.
Тогда справедлива следующая формула композиции интегралов с ядром Гильберта [ 5 ]:
¦* 2я s\ lit s\ i 2л
TTV dcr = -(p(s) + —- \(p(cr)d(T, (16)
у2л) 0 2 Q 2 2Л 0
которую называют формулой Гильберта.
На основании формулы (16) можно построить в явном виде решение уравнения (15), рассмотрим сингулярный интегральный оператор
М co = aco(s)------J«(cr)ctg-------da, (17)
2л 0 2
который отображает класс Н“[о,27г] в себя. Применяя к обеим частям уравнения (15) оператор (17), получим равенство
MT>(s) = M/(s), которое на основании формулы (16) приводится к виду
h2 2ж
(a1 + b2)<p(s)-----j<p(cr)dcr = М f(s). (18)
2л о
Если а2 +Ь2 >0, то (18) является интегральным уравнением Фредгольма с вырожденным ядром, поэтому оно решается просто.
Докажем, что уравнение (18) эквивалентно уравнению (15) при условии аФ 0. Для этого уравнение (18) запишем в операторной форме МГ>-М/ = 0 или М(Г>-/) = 0.
Если обозначим T(p-f = co, то получим уравнение М« = 0 или в развернутой форме
