Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 211

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 283 >> Следующая

dy,
Из последнего равенства следует справедливость тождества
\K(y, t) co(t)dt = 0,
a
которое и означает незамкнутость ядра K(x,t).
Определение 3. Будем говорить, что непрерывная на [a,b] функция /(х) представима через ядро K(x,t), если существует непрерывная на [а, Ь] функция h(x) такая, что
ь
f(x)=jK(x,t)h(t)dt, a<x<b, (41)
a
или f(x) = Kh(x) или f = Kh.
Теорема Гильберта - Шмидта. Всякая непрерывная функция f(x), представимая посредством ядра K(x,t), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям этого ядра, т.е.
+оо
f(x) = Hfn<Pn(x)» a<x<b, (42)
Л=1
где
Л =(/»?,) = =-7-» К =(К<ря)¦
к
Доказательство. Предварительно найдем коэффициенты ряда Фурье функции f(x) относительно ортонормированной системы {<рп{х)} \
/, = (/>,) = (Kh,9n) = (h,Kq>,) = (*,&¦) = -р.(*,«.,) = ^~ .
/L Яи Яи
IX IX п
Тогда ряд Фурье функции /(х) имеет вид
+00 +00 U
ifn<p„(x)=i^L<Pn(x)-
Л=1 П= 1 Л,п
Составим ряд Фурье функции h(x) по ортонормированной системе собственных функций {(р„{х)} ядра K(x,t)
+00
5Х ?„(*)» h = (h’<pn)-
л= 1
В силу неравенства Бесселя ряд
+00
•2
Ж <«)
И=1
сходится. Для обоснования абсолютной и равномерной сходимости ряда (42) воспользуемся критерием Коши (см. гл. 1, § 11, п. 2). На основании неравенства Коши - Буняковского оценим сумму
1
1 / I I 2 Л”
П+р П+р \h.\ . . ( И+р , ™1
I Ulkwh Z ffik-wN i\hi\
i=n+1 |=л+1 Я- \ /=и+1 /
\<Pi(x)\
1=Л + 1 Я;
V '
По лемме 10 вторая сумма из (44) ограничена, а первая сумма в силу сходимости ряда (43) может быть сделана сколь угодно малой. Отсюда следует, что ряд (42) сходится абсолютно и равномерно на [а, Ь~\.
Теперь покажем, что сумма f(x) ряда (42) совпадает с самой функцией f(x). В силу теоремы о сумме равномерно сходящегося ряда (см. гл. 1, § 11,
п. 2) сумма f(x) ряда (42) непрерывна на [а,Ь]. Обозначим через
^(Х) = f(x)~f(x)¦ Пусть со(х) не тождественно равна нулю на [а, Ь]. Прежде всего убедимся, что непрерывная функция со(х) ортогональна ко всем <рп(х). Учитывая доказанную равномерную сходимость ряда (42) и вытекающую
отсюда возможность почленного интегрирования, будем иметь
^ +00
(<»><Рп) = (/’<Рп)-(/’<Рп) = /п-1<М<Р'><Рп) = /п ~/п =°-
<=1
Тогда по лемме 13 ядро K(x,t) незамкнуто :
ь
\K(x,t)co(t)dt = Ка> = 0. (45)
а
Далее с учетом равенств (2) и (45) вычислим
^ ^ +00 (со, со) = (co,f-f) = (со, /) - (со, f) = (co, Kh) - ? (со, cpt) =
(=1
= (co,Kh) = (Kco,h) = (О,К) = О,
т.е.
ь
(со, со) = \со2 (x)dx = 0.
а
Отсюда уже вытекает, что со(х) = 0. Получено противоречие с допущением, что со(х) не тождественно равна нулю на [а,Ь]. Следовательно, со(х) = 0 на
[а, Ь], т.е. f(x) = f(x).
Следствие 1. Пусть K(x,t) - непрерывное на D и симметрическое
ядро. Тогда для любых непрерывных на [a,b] функций h(x) и h (х)
справедливо равенство Гильберта
| \К(х, t)h(x)h (t)dxdt = ? (46)
a a k=\ Xk
где
b
h =(Vk> h)= j<pk(x)h(x)dx ,
a
__ _________ b _________
К =(<pk’ h) = Wk(x)h ix)dx’
a
Xk - последовательность всех характеристических чисел ядра K(x,t),
501
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed