Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
x^co x jt->+oo 2 [+ со, 0 < a < 1.
Приведенные определения предела функции в точке можно обобщить и сформулировать в единой форме, используя понятия окрестности точки
aei?j=i?u{-co, + со, со}. Под 8 - окрестностью точки а е RY называется
множество U{а, 8), которое определяется так :
(а-8, а + 8), если aeR,
(8, +со), еслиа = +со,
(-со, -8), если а = - со,
(-со,-?)и(?,+оо), если а = со.
Выколотой (проколотой) <!>-окрестностью точки называется
множество U(a, 8) = U (a, ^)\{a} .
Пусть функция / задана на множестве D из множества действительных
чисел R и пусть точка а из i?i является предельной точкой множества D, т.е. в любой проколотой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка из D. Можно доказать, что если точка а является предельной точкой множества D, то в любой окрестности этой точки содержится бесконечное множество точек из D и из множества D можно выделить последовательность (хп) точек хпФ a, сходящуюся к точке a.
Определение предела на языке окрестностей. Элемент beRx
называется пределом функции / при х —> а или в точке x-aeRx, если для любой е-окрестности U(Ь,е) точки b найдется выколотая
8 окрестность U(a, 8) точки а такая, что образ множества D Г\{](а, 8) при отображении / : D ->• R целиком содержится в [j{b, е), т.е. при всех
х е D n U (а, 8) выполняется условие : f (x)e{J(b, е), и это символически записывают так:
lim / (x) = b или lim f (x) = b . (1)
x—>a x—>a
xeD
He останавливаясь на основных положениях теории пределов функций, отметим, что утверждения, аналогичные теоремам 1 - 5 и 7 из § 3, справедливы также для функций, имеющих конечный предел. Для примера сформулируем следующие критерии.
Теорема 2. Для того чтобы существовал конечный предел (1) функции f : D —»• R в точке ae Rt, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление / (x) = b + a(x), где а (х) - бесконечно малая функция при х -» a, т.е. lim a (х) = 0.
.х->а
Теорема 3 (критерий Коши). Для того чтобы существовал конечный предел функции / : D —» R в точке ae , необходимо и достаточно, чтобы
для любого ?>0 нашлась окрестность U(«, 8) такая, что при всех
о
х', х" е D Г) U (а, 8) выполнялось неравенство: | / (х) - / (х") | < ? .
§ 5. Непрерывность функции
В предыдущем параграфе, при рассмотрении предела функции / : D —> R в точке a, нас не интересовал вопрос: определена ли функция f(x) в самой точке а и, если даже определена, то каково именно ее значение в этой точке. В связи с этим возможны следующие ситуации:
а) предел lim/(x) = b существует, в то же время функция f(x) в точке
х—>а
а не определена;
б) предел lim f(x) = b существует, существует f(a), т.е. asDf, но
х—>а '
b Ф f(a);
в) предел lim f(x) = b и /(а) существует, при этом b = f(a).
х—>а
Среди функций, имеющих конечный предел, выделяют особый класс функций, удовлетворяющих случаю в).
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке
a&Df, если функция / (х) в этой точке имеет предел, равный / (а), т.е.
lim f(x) = f (a) . (1)
x-+a
Таким образом, данное определение предполагает:
1)функция f(x) определена в точке а, ибо иначе нельзя говорить о Да), значит, условие aeDf есть необходимое для непрерывности функции / точке а \
2) предел lim f{x) = b существует и b-f(a) \
х->а
3) а и / (а) - конечные числа, т.е. а , f (а)е R .
Поскольку понятие непрерывности функции в точке определяется через понятие предела функции, то на основании соответствующих определений 2 и 4 предела функции из § 4 приходим к определению непрерывности функции в точке на языке « ? - 8 » и на языке последовательностей.
Определение 2. Функция у = /(х) называется непрерывной в точке a е Df, если для любого наперед заданного числа ? > 0 существует такое число S> О, что для всех х из Df и удовлетворяющих неравенству | х - а | < д, следует неравенство | /(х) - f(a) | < ?.
Определение 3. Функция у = /(х) называется непрерывной в точке a е Df, если для любой последовательности (хя), xn е D f, сходящейся к a, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции /(х) сходится к /(а).
Пределу (1) можно придать следующий вид. Разность х-а называют приращением аргумента х в точке а и обозначают через Ах, т.е. Ах = х-а. Очевидно, если х—то Ах—>0. Аналогично разность f(x)-f(a) называют приращением функции / в точке а и обозначают Лу или А /(а):
Ау = А /(а) = /(х) - f(a) = f(a + Ах) - f(a).
Тогда равенство (1) равносильно следующим: lim /(х) = /(а) о lim [ /(х) - /(а)] = 0 о lim Ay = lim А /(а) = 0.
