Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Остаточный член формулы Тейлора можно определить в различных формах. Наиболее используемыми являются соответственно формы Лагранжа и Пеано1 :
Отметим, что для справедливости формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано достаточно, чтобы функция имела в U(x0,<!>) производные и-1-го порядка включительно и производную и-го порядка только в самой точке х0, т.е. в этом случае от функции /(х) требуются более слабые условия, чем в самой теореме 13.
Здесь рассмотрим операцию, обратную операции дифференцирования, т.е. займемся вопросом восстановления функции по известной производной.
Определение 1. Пусть функция / определена на промежутке <a,b>. Функция F, заданная на <a,b>, называется первообразной функции /, если:
1) функция F непрерывна на промежутке <a,b>;
2) производная F'(x) = / (х) при всех х е (а, Ь).
Примеры.
Тогда F(x) = x на сегменте [О, 1] является первообразной функции f(x).
(О, + оо) или (- оо, 0).
3. Функция F(x) = arcsinx является первообразной для функции
/(х) = 1/Vl-x2 на [-1,1]. так как arcsinx непрерывна на [-1,1] и
4. Функция F(x) = arctgx является первообразной функции
Д„(*>*о) = 0((*-*о)Л)-
§ 8. Неопределенный интеграл
2. Функция F(x)=In|x| является первообразной функции f(x) = — на
(arcsinx)' = l/л/l-x2 , -1 <х < 1.
1 Пеано Джузеппе (1858 - 1932) - итальянский математик.
/ (х) = 1 /(1 + х2) на числовой прямой R , так как функция arctgx непрерывна на R и (arctgx)'= 1/(1 + х2) при всех xeR.
Теорема 1. Пусть функция F является первообразной функции f на промежутке <a,b>. Тогда 1) при любой постоянной С функция F(x) + C также является первообразной для функции / на <a,b>; 2) любая первообразная Ф(х) функции / на < а, Ь> может быть представлена в виде Ф (х) = F (х) + С.
Справедливость первого утверждения легко проверяется на основании определения 1 первообразной. Второе утверждение следует из теоремы 9 § 7. В самом деле,
(Ф (х) - F (х))' = Ф'(х) - F'(x) = / (х) - / (х) = О при всех х е (a, b). Отсюда в силу теоремы 9 § 7 разность Ф — F есть функция, постоянная на промежутке <а,Ь>. Следовательно,
Ф(x)-F(x) = C, т.е. Ф(х) = F(x) + С.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции / на промежутке <a,b> называется неопределенным интегралом функции / на <a,b> и обозначается символом |/(х)с/х.
Если F (х) - одна из первообразных функции / на <a,b >, то в силу теоремы 1
jf (x)dx = F(x) + С, где С - произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла
Свойство 1°. Если функция F непрерывна на <a,b> и дифференцируема на интервале (а, Ь), то \F'{x)dx = F(x) + С.
Свойство 2°. Если функция / на промежутке <а,Ь> имеет
первообразную, то производная ( jf(x)dx) = /(х).
Свойство 3°. Если функции f и /2 имеют на промежутке <а,Ь> первообразные, то функция +/2 также имеет первообразную на < а,Ь > и
J[/i(*) +Л (*)]<&= \f(x)dx+\f2(x)dx. (1)
Свойство 4°. Если функция / имеет первообразную на <а,Ь> и k = const ф 0, то произведение kf также имеет на <а,Ь> первообразную и справедливо равенство
jkf(x)dx = kjf(x)dx. (2)
Справедливость свойств 1° - 4° доказывается на основании определений 1 и 2.
Отметим, что равенство в формулах (1) и (2) имеет условный характер,
т.е. его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием. Она является обратной операции
дифференцирования, что следует из свойств 1° и 2°.
Таким образом, теория неопределенного интеграла позволяет
восстановить функцию по ее производной, т.е. решить простейшее
дифференциальное уравнение первого порядка
У = /' W = g (*)» хе(а, Ъ), (3)
где g(x) - известная непрерывная функция на (a,b), а у = f(x) неизвестная функция. Решение уравнения (3) определяется по формуле
•УС*)= jg(x)dx + C.
На основании этой формулы и таблицы производных основных элементарных функций можно получить таблицу основных интегралов. Для примера приведем некоторые их них.
xa+l dx
1. fxadx--------------------------------------------+ C, x >0, а Ф -1. 2. f — = 1п|л|+С, x^O.
a +1 x
3. {sinxtZx^-cosx + C, xeR. 4. fcosxdx = sinx + C, x e R .
5. \axdx = —ax + C, a>0,a^l,xeR. 6. \exdx = ex + C, xeR.
In a
г dx farcsinx + C, -1<x<1, j. dx farctg x + C,
Vl-*2 [-arccosx + C,-l<x<l. -Ч + х2 [-arcctgx + C,xei?.
§ 9. Определенный интеграл
Пусть функция / определена на сегменте [а, 6]. Разобьем отрезок [а, Ъ\ системой точек
