Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 14

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 283 >> Следующая

или (а, Р], либо (-со, р] или [а, + со) или (- со, + со). Если окажется, что на концах некоторого сегмента [а,Ь\<^ <а ,Р > функция /(х) принимает
значения разных знаков, то по теореме 3 внутри сегмента [а, Ь] существует хотя бы один корень с: /(с) = 0 .
Пример 4. Доказать, что уравнение sinx-x + l = 0 имеет хотя бы один корень.
Решение. Действительно, функция f(x) = sinx-x + l определена и непрерывна на R = (- со,+ со). Найдем сегмент [я/2,Зя/4], на концах которого
Значит, внутри сегмента [ тг/2,37г/4] лежит корень данного уравнения.
Во-вторых, на этой теореме основан метод решения неравенств с одной переменной, называемый методом интервалов. Прежде, чем описать схему этого метода, отметим следующее свойство непрерывных функций.
Следствие 1. Если функция /(х) непрерывна на интервале {сс,Р) и не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
В самом деле, допустим, что найдутся точки а и b из интервала такие, что f(a)< 0, f{b)> 0. Тогда по теореме 3 существует точка с, лежащая между а и b , такая, что /(с) = 0. Это противоречит условию следствия.
Теперь опишем схему метода интервалов. Пусть нам дано решить неравенство f{x)> 0, где f(x) - непрерывная функция в области задания.
Сначала решим уравнение f(x) = 0. Найдем все корни этого уравнения. Множество корней уравнения /(х) = 0 может быть как конечным, так и бесконечным. Тогда эти корни разбивают каждый из промежутков области определения функции на интервалы, в каждом из которых, в силу следствия 1, функция f(x) сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f(x) в какой-либо одной точке выбранного интервала.
области задания Df = R\{2, 3} и обращается в нуль в точках 1 и -1. Точки -1,
1, 2 и 3 разбивают Df (рис. 4) на интервалы (-со, -1) , (-1, 1) , (1,2), (2,3) и (3, + оо).
Ъл 4 + 2л/2 -3/7 8-Зя
— =--------------<-------<0.
4 4 4
2-----=------->0 и
2 2
4
Пример 5. Решить неравенство
2 1 х -5х + 6
х2 -1 _ (х + 1)(х-1)
х2 — 5х + 6 (х — 2)(х — 3)
Решение. Функция /(х) =
непрерывна в
Выбирая на каждом из этих интервалов пробные точки, найдем значения функции /: /(4) = 15/2 > 0, /(2,5) = -21 < 0 , /(1,5) = 5/3 > О,
/(0) = —1/6 < 0, /(—2) = 3/10 > 0. Учитывая эти значения, определяем
интервалы, где функция f(x) > 0 и f(x) < 0 (см. рис. 4). Отсюда уже нетрудно получить решение задачи.
Ответ. (- со, — 1) u (1, 2) и (3, + со).
Теорема 4 (вторая теорема Больцано - Коши). Если функция / непрерывна на сегменте [а, Ь\ и принимает на его концах неравные значения f(a) = А и f(b)-B, то для любого С, лежащего между А и В, найдется точка с между а и b, такая, что /(с) = С.
Эта теорема представляет собой обобщение первой теоремы Больцано -Коши. Действительно, полагая в теореме 4 : А В <0 и С = 0, получим теорему
3. Вторая теорема Больцано - Коши имеет следующий геометрический смысл: график непрерывной на [а,Ь] функции, принимающей на его концах неравные значения, пересечет любую прямую у-С, лежащую между прямыми у = f (а) = А и у = f(b)-B, хотя бы в одной точке (рис. 5).
Из этой теоремы вытекает очень важное утверждение.
Следствие 2. Если функция / непрерывна на промежутке <a,fi> и
отлична от постоянной, то множество ее значений Ef = f(<a,/3 >) также
является промежутком. Или иными словами: при непрерывной функции промежуток отображается на промежуток, т.е.
/ : <а, р> —> Ef=<m,M>, где т = inf Ef, М = sup .
Теорема 5 (теорема Вейерштрасса). Если функция / непрерывна на сегменте [а, Ь\, то она на этом сегменте: 1) ограничена; 2) принимает свои наименьшее и наибольшее значения, т.е. достигает своих точных границ (граней): существуют точки х, и х2 из [а, Ь] такие, что
/(*,) = inf /(*). /(*2)= SUP /(*)¦
aixib a<x<b
Для монотонных функций справедливы следующие два утверждения.
Теорема 6. Если функция y = f(x) является монотонной на промежутке <a,b >, то в любой внутренней точке с промежутка < а,Ъ>
(а<с<Ь) эта функция имеет конечные односторонние пределы слева и справа и, кроме того, существует правый предел в точке а и левый предел в точке b .
На основании этой теоремы доказывается
Теорема 7. Пусть функция y-f(x) монотонна на промежутке <a,b>. Тогда для того чтобы функция / была непрерывной на <a,b>, необходимо и достаточно, чтобы множество значений Е{ было промежутком.
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть / монотонна и непрерывна на <a,b>. Тогда в силу следствия из второй теоремы Больцано - Коши множество Ef является промежутком.
2.Достаточность. Пусть / монотонна на <a,b> и Ef является промежутком. Предположим, что функция / не является непрерывной справа в некоторой точке ce<a,b). По теореме 6 существует правый предел /(с + 0)= lim f(x) и по допущению f(c + 0)ф /(с). Пусть для
Х—>С, X > с
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed