Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
отрезка ОМ является корнем уравнения х2 = 2. Как известно, это уравнение на множестве рациональных чисел неразрешимо, то есть среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2. Полученный факт означает, что указанной точке М не соответствует рациональное число. В связи с этим возникает потребность расширить множество рациональных чисел и ввести в рассмотрение более широкое множество чисел так, чтобы каждой точке числовой оси соответствовало некоторое число из этого более широкого множества. Это привело к необходимости введения новых чисел, названных иррациональными.
2. Иррациональные числа. Существуют различные способы введения иррациональных чисел. Здесь укажем один из них, основанный на понятии бесконечной десятичной дроби.
Каждое положительное рациональное число p/q по известному правилу деления «столбиком» можно превратить в десятичную дробь
р
— &§¦> Q\ Q-n , (1)
Ч
где а0 - целая часть представления, а ах ... ап ... - десятичные знаки (цифры от 0 до 9). Десятичную дробь в правой части (1) называют десятичным представлением рационального числа p/q. При десятичном представлении рационального числа получаются либо конечные десятичные дроби (дроби с нулем или девяткой в периоде)
— = а0, аха2... атООО... = а0, а,а2... ат(0) (ат *0),
Ч
2- = а0, а, а2... ат_1{ат -1)999... = а0, а1а2...(ат -1)(9) ,
Ч
либо бесконечные периодические дроби
^ = ай,аха2... ат Ьх Ь2 ...ЬкЬх Ь2 ...Ьк... = а0, а, а2... ат (Ьх Ь2...Ък)
Ч
(набор цифр Ъх Ь2 ...Ък периодически повторяется). Равным рациональным
числам соответствуют одинаковые бесконечные периодические десятичные дроби, если не считать дроби с девяткой в периоде. Отрицательному
рациональному числу -p/q соответствует десятичное представление рационального числа p/q, взятое со знаком минус, а нулю разложение О = 0,000... = 0,(0).
Примеры.
1 1
1. - = 0,333... = 0,(3). 2. - = 0,142857142857... = 0,(142857).
7
5
3.------=-0,2777... =-0,2(7).
18
Итак, каждому рациональному числу единственным образом соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь, если считать дроби с нулем и не считать дроби с девяткой в периоде. Обратно, любая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь по определенному правилу. Например,
123 41 24144-24 134
0,(123) = — = — , 2,24(144) = 2—--------------- = 2—.
999 333 99900 555
Наряду с периодическими дробями существуют и непериодические десятичные дроби. Например, 0,1010010001... , 0,1212212221... . Такие дроби и принимаются в качестве иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами. Совокупность рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается символом R, то есть R = QkjJ, где
J - множество всех иррациональных чисел. Таким образом, каждое действительное число есть бесконечная десятичная дробь; если оно рационально, то соответствующая десятичная дробь периодическая; если оно иррационально, то соответствующая десятичная дробь непериодическая.
Действительные числа определены пока формально. На множестве R можно ввести арифметические операции над действительными числами и понятие сравнения и проверить, что эти арифметические операции и сравнение согласуются с уже имеющимися соответствующими арифметическими операциями и сравнением для рациональных чисел, а также обладают свойствами, аналогичными свойствам рациональных чисел. Для примера здесь введем правило сравнения действительных чисел. Пусть а и b - два произвольных действительных числа:
а = ±а0,аха2...ак... \ (2)
Ъ = ±Ъ0,Ъ1Ъг..Ьк... . (3)
При этом знак « + » берется, когда целая часть представления неотрицательна, а знак « - » - когда она отрицательна. Действительные числа а и b одного знака будем считать равными: а = Ь, если
а0 =Ь0, а, = ЬХ, ..., ак =Ьк, ... . (4)
Пусть теперь действительные числа (2) и (3) неравны между собой, то
есть нарушено хотя бы одно из равенств цепочки (4), и установим правило, при
помощи которого можно заключить, каким знаком больше: « > » или меньше: « < » связаны эти числа. Возможны три случая.
1. Пусть сначала а и b неотрицательны. Тогда будем считать а>Ъ, если существует номер к0 е Nkj{0}= N0 такой, что
ао =Ь0, ах = Ьх, ..., ака_х = Ько_х, ако > Ько.
Будем считать, что а < b , если существует номер к0 е N0 такой, что
а0 ~ ^0’ а\ — ^Р •••’ ~ \-1’ < '
